ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

Нехай дано трапецію ABCD, ВС ∥ AD. Опустимо висоти ВК і CM. Тоді у △АВК ∠ВКА = 90°, а у △СDМ ∠CMD = 90°. АВ і CD — гіпотенузи, AM і MD — катети. За властивістю АВ > АК, CD > MD, отже, AB + CD > АК + MD. За властивістю трапеції ВС = КМ, тоді АК + MD = AD - ВС. Отже, AB + CD > AD - ВС. В будь-якій трапеції сума бічних сторін більша за різницю більшої і меншої основ.

Нехай дано трапецію ABCD, тоді за формулою P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD. За умовою MO = PO = NO = KO та MO ⟂ AB, NO ⟂ ВС, PO ⟂ CD, OK ⟂ AD, тоді т. О — центр кола, вписаного у трапецію ABCD. За властивістю ВС + AD = AB + CD. За умовою ST — середня лінія трапеції та ST =

Нехай дано трапецію ABCD, BO = OD = ОС = ОА, тоді т. О — центр кола, описаного навколо цієї трапеції. За властивістю трапеція рівнобедрена, отже, ∠BAD = ∠BCD, ∠АВС = ∠CDA. За умовою ∠BAD = 40°, тоді ∠BCD = 40°. Так як ∠BAD + ∠СВА = 180° (як кути, що прилягають до бічної сторони трапеції), тоді ∠СВА = 180° - 40° = 140°, значить, ∠CDA= 140°.

Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.

Нехай дано трапецію ABCD, ∠А + ∠D = 90°, BN = NC, AM = MD, ВС = b, AD = а. Проведемо NK ∥ AB, NF ∥ CD, тоді чотирикутники ABNK та CDFN — паралелограми. ∠А = ∠NKM (відповідні кути AB ∥ KN, AD — січна), a ∠D = ∠NFM (відповідні кути CD ∥ NF, AD — січна). Тоді у △KNF ∠NKF + ∠NFK = 90°, значить, ∠KNF = 90°,

Нехай дано чотирикутник, вписаний в коло, тоді за властивістю ∠DCB + ∠DAB = ∠ADC + ∠АВС = 180°. Нехай ∠САВ = х, тоді ∠CDB = х як кути, що спираються на одну дугу. Нехай ∠CAD = у, ∠ADM = z. Маємо: х + у + 103° = 180; z + х + 73°= 180°. За теоремою про суму кутів трикутника △DOM у + z + 110° = 180°.

2у = 40; у = 20, тоді х = 57°. У △АСD нехай ∠ACD k, тоді ∠CDM + ∠DMA + ∠MCD = 180°, ∠CMD = k = 57° (∠DMC + ∠AMC = 180°, ∠DMC = 70°). k = 180° - 127°, k = 53°. Отже, ∠ACD = 53°.

Відповідь: 53°.

Нехай дано △АВС, AH₁, ВН₂, СН₃ — висоти, точка Н — точка їх перетину. Якщо через чотири точки можна провести коло, то чотирикутник буде вписаним у коло і сума його протилежних кутів дорівнює 180°. У △АН₃НН₂ ∠АН₃Н = ∠НН₂А = 90° (ВН₂ та СН₃ — висоти за умовою), тоді ∠AH₃H + ∠НН₂А = 180°. У чотирикутнику сума всіх кутів 360°, отже, ∠Н₃НН₂ + ∠H₃AH₂ = 3,60° - 180° = 180°. Тоді через т. А, Н₃, H₁, Н₂ можна провести коло. Аналогічно для точок: Н₃, В, Н₁, Н; Н₁, Н, Н₂, С.

Нехай дано п’ятикутник ABCDE, АВ = ВС = CD = DE = АЕ; ∠C = ∠CDE = ∠DEA = ∠ЕАВ = ∠ВАС. У △AED AE = DE, тоді він рівнобедрений, ∠EAD = ∠ADE. У △ВАЕ АВ =АЕ, тоді ∠AEB = ∠АВЕ. △AED = △ВАЕ (АЕ = BA = ED як сторони п’ятикутника ABCDE, ∠ВАЕ = ∠AED за умовою) за І ознакою рівності, тоді ∠ABE = ∠BEA = ∠EAD і △AED ~ △AОЕ за І ознакою подібності (за двома кутами).

1028. Нехай дано паралелограм ABCD, т. А є NM. △NBA ~ △NCM, ∠A — спільний кут цих трикутників, ∠C = ∠ABN як відповідні кути (ВА ∥ CD, NC — січна). Трикутники подібні за І ознакою.

△NMC ~ △AMD (AM — спільний кут цих трикутників, ∠MCN = ∠MDA як відповідні кути (AD ∥ ВС, МС — січна). У △NВА і △АDМ: ∠MDA = ∠ABN, ∠N = ∠DAM як відповідні кути, NC ∥ AD, NM — січна).