ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас
101. Нехай ABCD (мал. 44) — прямокутник, АК — бісектриса кута BAD, ВК = КС, ВС = 20 см. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠А = 90°. Оскільки АК — бісектриса кута А, то, ∠ВАК = ∠KAD = 45°. Toді ∠BKA = 90° -45° = 45°, отже, трикутник АВК — рівнобедрений з основою АК. Оскільки ВС = 20 см, ВК = КС — за умовою задачі, то АВ = ВК = 10 см. Таким чином, РABCD = 2(АВ + ВС) = 2 • (10 + 20) = 60 см.
Мал. 44.
Відповідь: 60 см.
102. Нехай ABCD (мал. 44) — прямокутник, АК — бісектриса кута BAD, ВК = КС, АВ = 8 дм. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠A = 90°. Оскільки АК — бісектриса кута А, то, ∠ВАК = ∠KAD = 45°. Тоді ∠ВКА = 90° - 45° = 45°, отже, трикутник АВК — рівнобедрений з основою АК і АВ = ВК = 8 дм. Таким чином, ВС = 16 дм, тому що за умовою ВК = КС. РABCD = 2(АВ + ВС) = 2 • (8 + 16) = 48 (дм).
Відповідь: 48 дм.
Високий рівень
103. 1) Нехай ABCD — прямокутник, ВK ⟂ AC, ∠ACD = 60°, ОК = а. Оскільки ABCD — прямокутник, то ОС = OD, ∠OCD = ∠CDO = ∠COD = 60°, ∠AОВ = 60°. У прямокутному трикутнику ВКО ∠КВО = 90° - ∠КОВ = 90° - 60° = 30°, тоді ВО = 2ОК = 2а за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°. Звідси BD = 2ВО = 4ОК = 4а за властивістю діагоналей прямокутника. Оскільки ∠CAD = 90° - ∠ACD = 90° -
104. Нехай ABCD — прямокутник, ВК ⟂ AC, ∠ACD = 60°, АВ = b. Оскільки ∠CAD = 90° - ∠ACD = 90° - 60° = 30°, то BD = АС = 2CD = 2АВ = 2b. Оскільки ABCD — прямокутник, то ОС = OD, ∠OCD = ∠CDO = ∠COD = 60°, ∠АОВ = 60°. У прямокутному трикутнику ВКО ∠KBO = 90° - ∠КОВ = 90° - 60° =
105. (Мал. 45) △BKN = △CLM (за катетом і гострим кутом: ML = NK — як протилежні сторони прямокутника, ∠KBN = ∠LCM = 45°). Отже, NK = ВК і ML = LC. Отже, NK = ВК = ML = LC.
Мал. 45.
Нехай KL = 3х см, NK = 2х см, тоді ВК + KL + LC = 35 (см) або 2х + 3х + 2х = 35; 7х = 35; х = 5 (см). NK = 2х = 2 • 5 = 10 (см), KL = 3х = 3 • 5 = 15 (см). Звідси PKLMN = 2 • (NK + KL) = 25 см.
Відповідь: 25 см.
106. Нехай ABC (рис. 46) — даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, АС = СВ = 20 см, CKLM — прямокутник. У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику AKL, де ∠AKL = 90° (оскільки CKLM — прямокутник), теж ∠ALK = ∠KAL = 45°.
Мал. 46.
Таким чином, трикутник AKL — рівнобедрений, АК = KL. Аналогічно в трикутнику LMB, де ∠LMB = 90°, ∠MLB = ∠B = 45° і LM = MB. Отже, СА = СК + КА = СК + KL = 20 (см).
Звідси, PCKLM = 2 • (СК + KL) = 40 см.
Відповідь: 40 см.
Вправи для повторення
Мал. 47.
Тоді за властивістю кутів паралелограма маємо: ∠BCD = ∠BAD = 30°, ∠ABC = ∠ADC = 180° - 30° = 150°. Отже, кути паралелограма дорівнюють: 30°, 150°, 30°, 150°.
Відповідь: 30°, 150°, 30°, 150°.
+ ∠D = 4∠D = 360°, звідси, ∠D = 360° : 4° = 90°. Отже, ∠D = 90°.
Відповідь: 90°.
109. Нехай точка Р — внутрішня точка кута АВС (мал. 48). Проводимо промінь ВР і на ньому від точки Р відкладаємо відрізок РК = ВР.
Мал. 48.
Далі через точку К проводимо прямі КХ і KY, які паралельні прямим ВС i ВА, які перетинають сторони кута ABC в точках X і Y. Відрізок XY — шуканий, оскільки XY — діагональ паралелограма BXKY.
Розв’яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу
110. Розглянемо трикутники ABC і ADC (мал. 49). У них: AB = AD, ВС = DC — за умовою; АС — спільна сторона, тоді: △АВС = △ADC — за третьою ознакою рівності трикутників. Із рівності цих трикутників маємо: ∠B = ∠D.
Мал. 49.
Розглянемо трикутники BAD і BCD (мал. 50). У них: АВ = ВС, AD = DC — за умовою; BD — спільна сторона, тоді маємо △BAD = △BCD — за третьою ознакою рівності трикутників.
Мал. 50.
Із рівності цих трикутників маємо: ∠А = ∠С.
111. Не можна.
