ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

До § 24

ABCD — паралелограм, АВ = 4 см, DK = 2 см, DK ⟂ АВ. S_пар = АВ • DK, S_пар = 4 • 2 = 8 (см²).

Відповідь: 8 см².

Нехай дано ромб ABCD, АК — висота, S_ABCD = АК • КС. У ромба АВ = ВС = CD = AD, тоді S_ABCD = АК • АВ. За умовою АВ = 4 см, АК = 3 см. S_ABCD = 3 • 4 = 12 см².

Відповідь: 12 см².

Сторони паралелограма. S_пар = ВК • AD = BF • DC = 3 • 8 = 6 • 4 = 24 (см²).

2) Такого паралелограма не існує.

Нехай дано паралелограм ABCD, ВМ — висота, тоді S_ABCD = ВМ • AD. За умовою АК — бісектриса ∠BAD, ВК = КС. ∠КАМ = ∠ВАК, ∠КАМ = ∠АКВ (ВС ∥ AD, AK — січна, внутрішні перехресні кути). Тоді у △АВК AB = ВК. Нехай АВ = х см, тоді ВС = 2х см. За умовою Р_АBCD = 24 см, за формулою Р_ABCD = (АВ + ВС) • 2. Маємо: (х + 2х) • 2 = 24; 6х = 24; х = 4 см, отже, ВС = 4 • 2 = 8 см, АВ = 4 см. ВС = AD = 8 см (як сторони паралелограма). У △АBМ ∠ВАМ = 30°, ∠ВМА = 90°, тоді

Нехай дано ромб ABCD, коло вписане у ромб, ОР = r = 8 см, тоді діаметр кола МР = 2 • 8 = 16 см — є висотою ромба. За формулою S_ABCD = ВС • МР. Опустимо висоту AN, тоді S_ABCD = ВС • AN, AN = 16 см. У △ABN ∠ANB = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = АN² + ВN². За умовою AK : КВ = 1 : 4, тоді АК = х см, КВ = 4х см. Чотирикутник ANPM — прямокутник, тоді NP = AM. За властивістю дотичних ВК = ВР = 4х см, АК = АМ = х см, тоді NP = х. BP = BN + NP, значить, BN = 4х - х = 3х см. Отже, (5х)² = (3х)² + 16²; 16х² = 16²; х² = 16; х = 4. Отже, АВ =5 • 4 = 20 см. S_ABCD = 16 • 20 = 320 см².

Відповідь: 320 см².

До § 25