ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Додаткові задачі до розділу III

Sпар = AD • BH, Sпр = AD • АB, aлe AB > ВН (похила завжди довша за перпендикуляр); Sпар < Sпр.

645. Нехай ABCD — даний чотирикутник, діагоналі якого перетинаються у точці О.

646. Нехай ABC — даний трикутник, в якому АВ = 25 см, ВС = 40 см, ВН ⟂ АС, ВН = 24 см. За теоремою Піфагора АН2 = АВ2 - ВН2 = 252 - 242 = 625 - 576 = 49; АН = 7 см.

НС2 = ВС2 - ВН2 = 402 - 242 = 1600 - 576 = 1024; НС = 32 см.

а) Якщо △АВС — гострокутний і ВН лежить всередині трикутника, то АС = АН + НС = 7 + 32 = 39 см.

Через т. С проведемо пряму а ∥ АВ.

Знайдемо М — середину АВ.

Через т. М проведемо MN ⟂ a, N є а.

△ANB — шуканий.

В △ANB і △АСВ основа спільна і висоти, проведені до неї, однакові за побудовою, тому SABC = SANB. NM — висота і медіана за побудовою; △ANB — рівнобедрений (AN = NB).

Через т. С проведемо пряму а ∥ АВ.

На АВ, як на діаметрі, побудуємо коло. Позначимо N — точка перетину кола з прямою а.

△ANB — шуканий.

В △ANB і △АСВ основа спільна і висоти, що проведені до неї, однакові за побудовою, тому = SABC = SANB. ∠ANB = 90° (спирається на діаметр).

Якщо висота, що проведена до АВ, більша за половину АВ, то трикутник побудувати неможливо.

648. Нехай ABCD — дана трапеція.

Позначимо М і N — середини АВ і CD відповідно.

Проведемо MM2 ⟂ AD, NN2 ⟂ AD. M1 i N1 — точки перетину цих перпендикулярів з ВС. △АМ2М = △ВМ1M, a △DN2N = △CN1N за гіпотенузою і гострим кутом. Тому розрізати треба по лініях М1М2 і N1N2.

Задачі підвищеної складності

Нехай △АСВ — прямокутний, ∠C = 90°. В трикутник вписано коло з центром О, ОМ = ON = ОК = r. Довести: SAВС = АМ • МВ. Так як центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис, то СО, ВО, АО — бісектриси ∠C, ∠B і ∠A відповідно. Тобто CKON — квадрат, OK = ON = r (OK ⟂ AC, ON ⟂ ВС), то SCKON = r2.

△ONB = △OMB — прямокутні і рівні за гіпотенузою і катетом (ОВ — спільна сторона, ON = ОМ = r), тоді NB = MB.

△АКО = △АМО — прямокутні, рівні за гіпотенузою і катетом (АО — спільна сторона, ОК = ОМ = r), тоді АК = AM.



Підтримати сайт і наші Збройні Сили можна за посиланням на Buy Me a Coffee.