ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

551. Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН1 і ВН2 — висоти.

а) РABCD = 42 см, ВН1 = 6 см, ВН2 = 8 см. 2 • (AD + DC) = 42; AD + DC = 21. Нехай AD = х, тоді DC = 21 - х. Маємо АD • BH1 = CD • BH2; x • 6 = (21 - x) • 8; 6x = 168 - 8x; 14x = 168; x = 12; AD = 12 cм, S = AD • BH1 = 12 • 6 = 72 см2.

б) DC = 5 cм, AH1 = 4 cм, H1D = 6 cм. AB = DC = 5 cм; за теоремою Піфагора з △АН1В: AH12 + BH12 = AB2; ВН12 = AB2 - АН12 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9; BH1 = 3 cм. S = AD • BH1 = (AH1 + H1D) • BH1 = (4 + 6) • 3 = 30 см2.

552. Нехай ABCD — даний паралелограм. BH1 — його висота.

a) ∠ABD = 90°, AH1 = 4 см, H1D = 9 см. В прямокутному трикутнику ABD: BH12 = AH1 • H1D; BH12 = 4 • 9 = 36; BH1 = 6 cм. S = AD • BH1 = (AH1 + H1D) • BH1 = (4 + 9) • 6 = 78 cм2.

б) AB = 4√2 cм, AD = 8 см, ∠А = 45°. В △AH1B: ∠H1 = 90°, ∠А = 45°; ∠ABH1 = 45°; △AH1B — рівнобедрений ⇒ AH1 = ВН1. За теоремою Піфагора: АН12 + BH12 = AB2; 2ВН12 = АВ2; 2 • BH12 = (4√2)2; 2BH12 = 32; BH12 = 16; BH1 = 4 см.

S = AD • BH1 = 8 • 4 = 32 cм2.

Отже, MNKP — паралелограм, але з того, що NK ∥ BD, РК ∥ АС, а АС ⟂ BD випливає, що NK ⟂ РК; MNKP — прямокутник і SMNKP = NK • РK = 8 • 15 = 120 cм2.

555. Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота. ∠B = 150°.

556. Нехай d — діагональ квадрата зі стороною, тоді d = а√2.

557. Нехай ABCD — даний квадрат, M є АС.

Відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра, проведеного з точки на цю пряму.

Проведемо MM1 ⟂ CD, MM2 ⟂ AD, MM1 = 180 см = 1,8 м, ММ2 = 2,2 м.

∠МСМ1 = 45° (діагональ квадрата є його бісектрисою); ∠CMM1 = 45°; CM1 = MM1 = 1,8 м. Аналогічно AM2 = MM2 = 2,2 м, але M2MM1D — прямокутник, тому M1D = MM2 = 2,2 м. CD = СМ1 + M1D = 1,8 + 2,2 = 4 м. SABCD = CD2 = 42 = 16 м2.

Оскільки сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а одна з висот 15 см, то за нерівністю трикутника ця висота не може бути проведеною до сторони 16 см (15 + х < 12), тому S = 12 • 15 = 180 см2.

559. Нехай ABCD — паралелограм, ВН1 і ВН2 — його висоти, ∠Н1ВН2 = 30°.

△AH1B ~ △СН2В за гострим кутом (∠A = ∠С як протилежні кути паралелограма). Нехай ∠А = ∠С = α, тоді ∠АВН1 = ∠СВН2 = 90° - α, ∠АВС = ∠АВН1 + ∠Н1ВН2 + ∠Н2ВС = 180° - ∠А. Тому 90° - α + 30° + 90° - α = 180° - α; α = 30°. ∠A = 30°.

З △АН1В: АВ = 2 • ВН1 = 2 • 12 = 24 см.

SABCD = CD • BH2 = 24 • 16 = 384 см2.

Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота, М — точка перетину АС і ВН. Розглянемо △НАВ. За властивістю діагоналей ромба ∠НАС = ∠САВ, тому AM — бісектриса △HАВ і за властивістю бісектрис

Позначимо AB = 13x, а АН = 5х і запишемо теорему Піфагора для △АНВ: АН2 + НВ2 = АВ2; (5х)2 + (13 + 5)2 = (13x)2; 25х2 + 324 = 168х2; 144х2 = 324; х2 = 2,25; х = 1,5; АВ = 13 • 1,5 = 19,5; AD = AB = 19,5 cм. S = AD • BH = 19,5 • (13 + 5) = 351 см2.

562. Нехай ABCD — ромб, BH — його висота.

З △HBD за теоремою Піфагора маємо: HD2 + ВН2 = BD2; HD2 = BD2 - ВН2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25; HD = 5 см. Нехай АН = х, тоді АВ = AD = х + 5.

З △АНВ маємо: АН2 + ВН2 = АВ2; х2 + 122 = (х + 5)2; х2 + 144 = х2 + 10х + 25; 10х = 119; х = 11,9 см. AD = 11,9 + 5 = 16,9 см.

S = AD • ВН = 16,9 • 12 = 202,8 см2.

563. Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD), CM — бісектриса, СМ ∥ АВ.

Оскільки ВС ∥ AM, АВ ∥ СМ, то АВСМ — паралелограм; ∠A = ∠C = α, тоді ∠BCD = 2α (СМ — бісектриса), ∠D = ∠A = α (кути при основі рівнобічної трапеції). Тому за властивістю кутів при бічній стороні трапеції ∠BCD + ∠D = 180°; 2α + α = 180°; 3α = 180°; α = 60°.

Маємо: ∠A = ∠D = 60°; ∠B = ∠C = 120°. Бісектриса ділить трапецію на паралелограм АВСМ і рівносторонній △МСD.

564. Нехай ABCD — даний паралелограм, BD — його висота, ∠A = 45°, АD = 4 см. В △ADB: ∠D = 90°, ∠A = 45°; ∠B = 445°; AD = BD = 4 cм.