ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
401. а) Оскільки AKLM — квадрат, то KL ⟂ AB, LM ± AC. △BKL ~ △BAC за спільним гострим ∠B. △LMC ~ △BAC за спільним гострим ∠C; △BKL ~ △LMC ~ △BAC.
402. Два кола з центрами О1 і О2 дотикаються зовні у точці В.
406. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник (∠А = 90°).
АD ⟂ ВС, AD = 24 см і DС : ВD = 9 : 16. Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді DC = 9х, BD = 16х. За метричними співвідношеннями маємо: AD2 = CD • BD; 242 = 9х • 16х; 576 = 144х2; х2 = 4; х = 2, отже, DC = 9 • 2 = 18 cм, BD = 16 • 2 = 32 см, а ВС = BD + DC = 32 + 18 = 50 см.
Використовуючи співвідношення AC2 = ВС • DC і AB2 = ВС • BD, маємо AC2 = 50 • 18 = 900; AC = 30 см. АВ = 50 • 32 = 1600; АВ = 40 см.
Відповідь: 30 см, 40 см.
Нехай АВ — діаметр кола з центром О. С є АВ, АС =10 см, СВ = 8 см.
Проведемо CM ⟂ АВ, М належить колу, тоді ∠АМВ = 90° (спирається на діаметр). Розглянемо прямокутний △АМВ, МС — його висота, що проведена до гіпотенузи. За метричними співвідношеннями: СМ2 = АС • ВС; СМ2 = 10 • 8 = 80; СМ = √80. За умовою D є СМ, тому порівняємо СМ і CD: √80 < 9, оскільки 9 = √81. CM < CD; D знаходиться поза колом.
Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС). D — середина АС.
DN ⟂ BC, N є BC. CN = 2,25 см. NВ = 4 см. Проведемо BD. Оскільки BD — медіана рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, то BD є висотою і ∠ВDС = 90°. В △BDC DN — висота, що проведена до гіпотенузи, тому за метричними співвідношеннями DN2 = CN • NB = 2,25 • 4 = 9; DN = 3 см. До бічної сторони △АВС проведемо висоту АН. △АНС ~ △DNC за спільним гострим кутом С;
409. Нехай АВСD — даний ромб, в який вписано коло з центром О.
Н — точка дотику коло до сторони ВС. СН = 5 см, ВН = 20 см, ОН — радіус, проведений в точку дотику, тому ОН ⟂ ВС. За властивістю діагоналей ромба ∠BOC = 90°.
Розглянемо прямокутний △ВОС, ОН — його висота, що проведена до гіпотенузи; ОН2 = СН • НВ; ОН2 = 5 • 20 = 100; ОН = 10 см. Але ОН — радіус вписаного в ромб кола, а висота ромба є діаметром цього кола. Отже, h = 2 • ОН = 2 • 10 = 20 см.
Відповідь: 20 см.
Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН ⟂ CD. DH : НС = 1 : 7. Проведемо AN ⟂ CD. △ВНС = △AND за гіпотенузою і гострим кутом, тому DN = НС. Нехай К — точка перетину ВН і АС.
