ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
§ 12. Подібність прямокутних трикутників
386. а) Ні, оскільки цей кут може дорівнювати 90°.
б) Так.
в) Так, оскільки, якщо в прямокутному трикутнику один кут 20°, то інший гострий кут дорівнює 70°.
г) Ні, оскільки якщо катет вдвічі менший за гіпотенузу, то трикутник має кути 30° і 60°.
387. Нехай CD — висота, що проведена до гіпотенузи, AD і BD — проекції катетів на гіпотенузу.
Припустимо, що АD > CD, BD > CD, але за метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику CD2 = AD • BD, а це суперечить припущенню.
Але якщо CD = AD = BD, то △АСВ — прямокутний рівнобедрений (∠А = ∠В = 45°).
388. а) Якщо ас < bс, то а < b.
б) Якщо а > b, то ас > bс.
389. Нерівні прямокутні трикутники зі спільною гіпотенузою не можуть бути подібними.
Але два прямокутні трикутники зі спільним катетом можуть бути подібними, якщо більший катет одного дорівнює меншому катету іншого.
390. Перший учень правий, але це не єдиний спосіб побудови четвертого пропорційного відрізка.
391. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°). AD ⟂ BC.
DC — проекція АС на гіпотенузу, BD — проекція АВ на гіпотенузу.
CD = 2 cм, BD = 4 см.
a) AD2 = CD • BD; AD2 = 2 • 4 = 8; AD ≈ 2,8 cм.
б) AC2 = BC • BD = (2 + 4) • 4 = 24; AC ≈ 3,5 см.
AB2 = BC • BD = (2 + 4) • 4 = 24; AB ≈ 4,9 cм.
392. ABC — даний трикутник (∠C = 90°).
M є AC, MN ⟂ AC, NK ⟂ AC;
△ACB ~ △AKN ~ △ANM ~ △NKM.
393. a) △BAC ~ △BMK за гострим кутом (∠B — спільний).
б) △АКВ ~ △CMВ за гострим кутом (∠A = ∠C як протилежні кути паралелограма).
394. а) △ВКМ ~ △BAC за гострим кутом (∠B — спільний).
б) △FBO ~ △FAD за спільним гострим кутом F.
△FBO ~ △DCO за гострим кутом (∠FOB = ∠DOC як вертикальні).
395. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні. Оскільки трикутники прямокутні, то вони мають по рівному прямому куту, а катети, що утворюють ці кути, пропорційні, отже, трикутники подібні.
396. Прямокутні трикутники AED і АСВ подібні за спільним гострим кутом А. Тому їх сторони пропорційні:
398. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику маємо:
a) CD2 = AD • BD; CD2 = 4 • 25 = 100; CD = √100 = 10 см.
б) AC2 = AB • AD; AC2 = 50 • 18 = 900; AC = 30 (cм).
BC2 = AB • DB; DB = AB - AD = 50 - 18 = 32 (cм).
BC2 = 50 • 32 = 1600; BC = 40 (cм).
Відповідь: a) 10 cм; б) 30 cм і 40 см.
Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°). AD ⟂ BC; BD = 4,5 cм, DC = 8 cм. BC = BD + DC = 4,5 + 8 = 12,5 (cм).
За метричними відношеннями: AC2 = BC • DC; AC2 = 12,5 • 8 = 100; AC = 10 (cм).
AB2 = BC • BD; AB2 = 12,5 • 4,5 = 56,25; AB = 7,5 (cм).
P△ABC = AB + ВС + АС = 12,5 + 6,5 + 10 = 30 (см).
Відповідь: 30 см.
400. Нехай △АВС ~ △А1В1С1 з коефіцієнтом k. Проведемо висоти ВН і В1Н1.
