ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
381. Нехай ABC — даний трикутник, М є AB, N є AC, MN ∥ ВС.
Проведемо медіану AF. Е — точка перетну медіани з MN.
382. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС).
Нехай проведено AM таким чином, що AM = AC, AM = ВМ. ∠С = α, тоді ∠BAC = α (АВ = ВС) і ∠АМС = α (AM = АС).
З △АВС маємо: ∠АВС = 180° - (∠BAC + ∠С) = 180° - 2α, тоді ∠ВАМ теж дорівнює 180° - 2α (△АМВ — рівнобедрений), а з △АМС ∠МАС = 180° - 2α.
Отже, ∠BAC = ∠ВАМ + ∠МАС; α = 180° - 2α + 180° - 2α; 5α = 360°; α = 72°.
Тобто в △АВС: ∠A = ∠C = 72°, ∠B = 180° - 2 • 72° = 36°.
Відповідь: 72°, 72°, 36°.
383. Через точку довільного трикутника можна провести три прямі, паралельні сторонам трикутника і вони будуть відтинати трикутники, подібні даному.
Через цю точку і вершину найбільшого кута можна провести ще 2 прямі, через точку і вершину середнього кута ще одну пряму (№ 376). Через цю точку і сторону трикутника можна провести ще дві прямі, що відтинають подібні трикутники (№ 377).
384. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°). AM — медіана, АН — висота, ∠МАН = 90°.
За властивістю медіани, що проведена до гіпотенузи, AM = ВМ = МС. Нехай ∠АВС = α, тоді ∠ВАМ = α (△ВMА — рівнобедрений). △АНС ~ △ВАС за двома кутами (∠AНС = ∠BAC = 90°, ∠С — спільний); ∠НАС = ∠АВС = α. Маємо: ∠BAC = ∠ВАМ + ∠МАН + ∠НАС. 90° = α + 20° + α; 2α = 70°; α = 35°.
Отже, ∠В = 35°, ∠С = 90° - 35° = 55°.
Відповідь: 35°, 55°.
385. Нехай а — катет, R — радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника.
Аналіз. Нехай △АВС побудовано. Вершини В і С є кінцями діаметра кола радіуса R. Вершину А можна знайти як точку перетину даного кола з колом з центром В і радіуса а.
Побудова.
1. Будуємо коло з центром О і радіуса R.
2. Проведемо довільний діаметр цього кола. Його кінці позначимо В і С.
3. Будуємо коло з центром В і радіуса а. А — точка перетину двох кіл.
4. Послідовно з’єднаємо точки А, В і С.
Доведення. △АВС — прямокутний, ∠А = 90° (спирається на діаметр), ВС = 2R, АВ = а за побудовою.