ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
Нехай ABCD — даний паралелограм. О — точка перетину його діагоналей. O1 — точка перетину медіан △АВС, О2 — точка перетину медіан △АСD.
За властивістю діагоналей паралелограма АО = ОС, тому ВО — медіана △АВС, DO — медіана △АСD; О1 є BD і О2 є BD.
293. Нехай ABC — даний рівнобедрений трикутник, вписаний в коло з центром О. ОМ ⟂ AC, ОМ = 3 см, ОВ = 6 см. Оскільки центр кола, описаного навколо трикутника, належить серединному перпендикуляру, проведеному до сторони трикутника, а в рівнобедреному трикутнику він співпадає з медіаною, проведеною до основи, то О є ВМ.
Нехай ∠B < 90°, тоді О співпадає з точкою перетину медіан трикутника. Отже, ОМ = 3 см, ВО = 6 см.
Нехай ∠B > 90°, тоді ВМ = ВО - ОМ = 6 - 3 = 3 см і точка перетину медіан К ділить її на відрізки ВК = 2 см і КМ = 1 см.
Відповідь: 6 см, 3 см або 2 см, 1 см.
1. Будуємо △AOD за трьома сторонами.
2. Через середину OD проводимо пряму і відкладаємо КС =АК.
3. На прямій OD відкладаємо OB = OD.
4. Послідовно з’єднуємо т. А, В і С. ABC — трикутник, у якого AM = m1, ВК = m2, CN = m3, АК = КС, CM = ВМ, AN = BN. Задача має розв’язок, якщо для m1, m2 і m3 виконується нерівність трикутника.
295. Нехай ABC — трикутник, вписаний в коло з центром О. KNM — трикутник, утворений середніми лініями △АВС. Точка О є точкою перетину серединних перпендикулярів до AB, ВС i АС. Оскільки KN ∥ АС, а МО ⟂ АС, то MO ⟂ KN, тобто MF — висота △KNM. Аналогічно можна довести, що KD і NE теж висоти △KNM; О — ортоцентр △KMN.
Нехай ABC — даний трикутник (∠B = 90°). ВМ — медіана, ВМ = 6 см. Е — середина АВ, ЕF ∥ ВМ.
Оскільки медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, то АС = 2 • ВМ = 2 • 6 = 12 см, АВ = ВМ = 6 см. За теоремою Фалеса, оскільки АЕ = BE і ЕВ ∥ ВМ, то АF = MF = AM : 2 = 6 : 2 = 3 см. Отже, FC = AC - AF = 12 - 3 = 9 см.
Відповідь: 3 см і 9 см.
