ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

§ 9. Визначні точки трикутника

282. Поза трикутником може лежати центр кола, описаного навколо трикутника, якщо трикутник тупокутний і точка перетину продовжень висот, якщо трикутник тупокутний.

283. Ортоцентр (точка перетину висот трикутника) може збігатися з вершиною цього трикутника, якщо трикутник прямокутний.

284. В рівносторонньому трикутнику всі чотири визначні точки збігаються і є центрами вписаного і описаного кіл трикутника.

286. Нехай ABC — даний трикутник.

AD і СЕ — його висоти. О — точка їх перетину. За теоремою про висоти трикутника ВH ⟂ АС.

287. Нехай АВС — даний трикутник (АВ = ВС). Проведемо ВН ⟂ АС. В рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи є медіаною, бісектрисою і серединним перпендикуляром.

Отже, всі чотири визначні точки знаходяться на висоті, що проведена до основи.

Нехай ABC — даний трикутник, О — точка перетину його медіан і висот.

Оскільки через В і О можна провести тільки одну пряму, то висота і медіана, проведені з В співпадають. Отже, △АВС — рівнобедрений; AB = ВС. Аналогічно можна довести, що ВС = АС. Отже, △АВС — рівносторонній.

290. Нехай ABC — даний трикутник, Н — точка перетину його висот. Позначимо висоти △АВС — AN, ВК і CM, тоді маємо: ВК ⟂ АС; СК — висота △ВНС, що проведена до ВН. ВМ — висота, що проведена до НС, HN — висота, що проведена до ВС.

Оскільки їх продовження перетинаються в т. А, то А є ортоцентром △ВНС.