ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

222. а) △АВС — прямокутний, ∠C = 90°, ∠B = 90° - 65° = 25°.

а) ∠AВС спирається на діаметр АС; ∠АВС = 90°.

б) АО = ОС = ОВ = 5 см — як радіуси кола, АС = АО + ОС = 5 + 5 = 10 (см).

Відповідь: а) 90°; б) 10 см.

Бісектриса ділить ∠ABC на 2 рівних вписаних кути, які спираються на 2 рівні половини дуги ВС.

∠ADC = ∠ABC = 30° (спираються на одну дугу). Кут х є зовнішнім кутом △CMD; х = ∠МСD = ∠МDС = 25° + 30° = 55°.

б) ∠СВА = 90° (спирається на діаметр); х = ∠DВА = ∠DBC + ∠СВА = 30° + 90° = 120°.

Відповідь: а) 55°; б) 120°.

∠ABC = ∠ADC = 45° (спираються на одну дугу). З △АМВ за теоремою про суму кутів трикутника маємо: х = ∠ВМА = 180° - (∠АВМ + ∠MAB) = 180° - (45° + 15°) = 180° - 60° = 120°.

△ВОС — рівнобедрений (ВО = СО = R); △АОВ — рівнобедрений (AO = OB = R); х = ∠ВАО + ∠ABO = (180° - 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°.

Відповідь: а) 120°; б) 55°.

Точки А, В і С належать колу з центром О. Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді ◡ABC = 11х, ◡AMC = 7х. Маємо: ◡АВС + ◡АМС = 360°, 11х + 7х = 360°, 18х = 360°, х = 20°. ◡АМС = 7 • 20° = 140°; ∠АОС = 140° (центральний),

228. Нехай А, В і С належать колу з центром О. ◡ВМС : ◡ANB : ◡СКА = 3 : 4 : 5. Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді ◡ВМС = 3х, ◡ANB = 4х, ◡СКА = 5х. Маємо рівняння: 2х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; х = 30° і ◡АКВ = 4 • 30° = 120°, ◡ВМС = 3 • 30° = 0°, ◡CKA = 5 • 30° = 150°.

Нехай А, В і С належать колу з центром О. ◡ВМС : ◡ANB : ◡СКА = 3 : 4 : 5. Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді ◡ВМС = 3х, ◡ANB = 4х, ◡СКА = 5х. Маємо рівняння: 3х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; х = 30° і ◡АКВ = 4 • 30° = 120°, ◡ВМС = 3 • 30° = 0°, ◡СКА = 5 • 30° = 150°. За теоремою про вписаний кут маємо:

II випадок. Нехай ◡АВ = 100°, тоді ◡ВС = 100°, ∠С = 50°, ∠A = 50°, ∠B = 180° - (50° + 50°) = 80°.

Відповідь: 50°, 50°, 80°.

III випадок. Нехай ◡АВС = 100°, тоді ◡AmC = 260°, ∠B = 130°, ∠A = ∠C = (180° - 130°) : 2 = 25°.

Нехай АВ — хорда, а ВС — дотична до кола з центром О.

Позначимо кут АВС між хордою і дотичною через а, тоді ∠АВО = 90° - α (радіус, який проведено в точку дотику утворює з дотичною кут 90°). △АВО — рівнобедрений (ОА = OB = R); ∠ОАВ = ∠АВО = 90° - α, ∠АОВ = 180° - (90° - α + 90° - α) = 2α; ◡AMВ = ∠АОВ = 2α. Маємо: