ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС, AD = CD, АС — діагональ △АВС і △ACD — рівнобедрені за умовою, тобто AB = ВС і AC =AD.
Враховуючи, що ∠A = ∠D і ∠B = ∠C за властивостями трапеції.
Так як △АВС — рівнобедрений, то маємо ∠BAC = ∠ВСА, △DAC — рівнобедрений, то ∠ACD = ∠CDA. ВС ∥ AD, AC — січна, то маємо ∠BCА = ∠CAD, то нехай ∠CAD = х, то ∠D = 2х. Враховуючи, що сума кутів △АСВ дорівнює 180°, маємо х + 2х + 2х = 180; 5х = 180; х = 36. Тобто ∠А = ∠D = 2 • 36° = 72°; ∠B = ∠C = 180° - 72° = 108°.
Відповідь: 72°; 108°; 108°; 72°.
162. Нехай ABCD — трапеція.
За умовою AB = CD = 2а, ВС = 7а, AD = 9а. Проведемо висоти BN і CM, △BNА = △CMD за катетом і гіпотенузою, Отже,
163. Нехай у трапеції АВСD АВ = СD.
△ADC = △DAB (AB = CD — за умовою; ∠CDA = ∠BAD — кути при основі рівнобічної трапеції; АD — спільна. З рівності △ADC = △DAB маємо: АС = BD як відповідні сторони рівних трикутників.
Доведемо, що якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.
Нехай у трапеції ABCD АС = BD. Проведемо BF ⟂ AD, СК ⟂ AD, тоді ЕВСК — прямокутник.
△АСК = △DBF (оскільки BF = СК як протилежні сторони прямокутника, АС = BD — за умовою, ∠АКС = ∠DFB = 90°). Із рівності трикутників випливає, що ∠CAD = ∠DBA. △ACD = △BDA (оскільки АС = BD — за умовою, AD — спільна сторона, ∠CAD = ∠BDA — за доведеним). Із рівності трикутників випливає, що AB = CD, тобто ABCD — рівнобедрена трапеція.
164. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD.
З △BAD і △CDA: AB = CD (за умовою); AD — спільна; ∠BAD = ∠CDA (як кути при основі рівнобічної трапеції). Отже, △BAD = △CDA за двома сторонами і кутом між ними; ∠BDA = ∠CAD як відповідні кути рівних трикутників.
Доведення. Розглянемо △AOD: ∠OAD = ∠ODA, тоді AO = OD. З того, що ∠ВСО = ∠СВО випливає ВО = СО. Отже, АС = АО + ОС, BD = BO + OD; АС = BD. Якщо діагоналі трапеції рівні, то вона трапеція — рівнобічна.
Будуємо заданий кут D, на одній із його сторін відкладаємо відрізок AD, що дорівнює даній стороні. Будуємо коло з центром А і радіусом АС, що дорівнює діагоналі. Точка В — точка перетину кіл з центрами А і С і радіусами CD і AD. ABCD — шуканий паралелограм.
Будуємо прямокутний трикутник BKD за гіпотенузою BD, яка дорівнює діагоналі, і катетом ВК, що дорівнює висоті ромба. Потім будуємо △BDL. Черезточку В проводимо прямі ВС і ВА, причому ВС ∥ KD, BA ∥ DL. Точки С і А — точки перетину прямих ВС i DL та ВА і DK відповідно. ABCD — шуканий ромб.
Спочатку побудуємо трикутник ACF, сторони якого дорівнюють діагоналям і сумі основ трапеції: CF = BD, AF =AD + ВС. Далі будуємо відрізок СВ на промені СВ (ВС ∥ AF), та відкладаємо відрізок AD на промені АF. ABCD — шукана трапеція.
Спочатку будуємо ∠CFA = 45°, на промені D відкладаємо відрізок AF, який дорівнює півпериметру прямокутника. Точка С — точка перетину променя FC і кола з центром в точці А і радіусом АС, який дорівнює діагоналі прямокутника. Далі в трикутнику ACF проводимо висоту CD. Точка В — точка перетину променів СВ i АВ, причому СВ ⟂ CD. AB ⟂ AD. ABCD — шуканий прямокутник.
Будуємо прямокутний трикутник АВК за катетом ВК, який дорівнює висоті ромба, та даним гострим кутом А. На промені АК відкладаємо відрізок AD, який дорівнює АВ. Точка С — точка перетину променів ВС і DC, причому ВС ∥ AD, АВ ∥ DC. ABCD — шуканий ромб.
Будуємо прямокутний трикутник, у якого ∠CKD = 90°. CD дорівнює бічній стороні трапеції, KD — піврізниці основ трапеції. Точка А — точка перетину променя DK з колом в центрі С і радіусом АС, який дорівнює діагоналі трапеції. Точка В — точка перетину променя СВ (СВ ∥ AD) і кола з центром у точці А і радіусом АВ, який дорівнює бічній стороні трапеції. ABCD — шукана рівнобедрена трапеція.
Оскільки D, Е, F — середини сторін рівностороннього трикутника ABC, то AD = AF, FC = EC.
Нехай в △АВС: АВ = ВС, AD ⟂ ВС, EC ⟂ AB, AD = CE. ∠ADB = ∠CEB, оскільки ∠ADB = ∠СЕВ = 90°, ∠B — спільний, AD = СЕ за умовою.
З рівності трикутників випливає: ЕВ = DB, отже, △DBE — рівнобедрений.