Завдання 151-160 - ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Hexaй MNPK — дана рівнобічна трапеція (MN = РК). Позначимо ∠M через α, тоді ∠N = 180° - α (за властивістю кутів, прилеглих до бічної сторони), а ∠К = ∠M = α (як кути при основі рівнобічної трапеції). Маємо: ∠N + ∠К = (180° - α) + α = 180°. Отже, ∠N + ∠K = ∠M + ∠P = 180°.

Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція, AD ∥ ВС. За умовою ∠B - ∠D = 80° (∠A = ∠D, ∠B = ∠C). To маємо ∠A + ∠B = 180° (AD ∥ BC, AB — січна) внутрішні односторонні кути, то ∠B = ∠D + 80°, то ∠B = 180° - ∠D (∠D = ∠A), ∠D + 80° = 180° - ∠D; 2∠D = 100°; ∠D = 50°. Звідки ∠B = 50° + 80° = 130°; ∠C = 130°.

Відповідь: 50°; 130°; 130°; 50°.

Нехай ABCD — прямокутна трапеція, ВС ∥ AD, AC — бісектриса кута С. ∠BAC = 35°, ∠A = ∠B = 90°. З ∠ABC: ∠BCA = 90° - 35° = 55°, ∠BCD = 2∠BCA = 55° • 2 = 110°, оскільки CA — бісектриса. ∠D = 180° - ∠C = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 90°, 90°, 110°, 70°.

Нехай ABCD — дана прямокутна трапеція, AD ∥ ВС. За умовою ∠C : ∠D = 3 : 2. Нехай ∠C = 3k, k > 0; ∠D = 2k, то маємо ∠C + ∠D = 180° (BC ∥ AD, CD — січна); 3k + 2k = 180; 5k = 180; k = 36. Тобто ∠C = 3 • 36° = 108°; ∠D = 2 • 36° = 72°.

Відповідь: 108°; 72°; 90°; 90°.

Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція, AB = CD, AD ∥ BC, BC < АD вдвічі. Для розв’язання задачі проведемо висоти з вершин тупих кутів на AD — ВМ і СК, BM ⟂ AD; CK ⟂ AD. Hexай AB = BC = CD = х, х > 0. То AD = 2х (за умовою). Маємо: AM = (AD - BC) : 2 = (2х - х) : 2 = ^х/₂. Розглянемо △АМВ — прямокутний(∠AMВ = 90°). Катет цього трикутника вдвічі менший за гіпотенузу, то ∠ABM = ∠KCD = 30°, то ∠A = 90° - 30° = 60°. ∠A = 60°, звідки ∠D = ∠А = 60°.

Враховуючи, що ∠A + ∠B = 180° (AD ∥ ВС, АВ — січна, внутрішні односторонні), то маємо ∠B = 180° - 60° = 120°. ∠C = ∠B = 120°

Відповідь: 60°; 120°; 120°; 60°.

a) Нехай ABCD — дана трапеція, AD ∥ ВС, ВК ∥ CD. Для доведення розглянемо чотирикутник KBCD. ВК ∥ CD за умовою, ВС ∥ AD, то BCDK — паралелограм за означенням.

б) ВС = 4 см; Р_△_ABK = 11 см; Р_△_ABK = АВ + ВК + АК; так як KBCD — паралелограм за означенням, то ВС = KD; ВК = CD, маємо: Р_ABCD = AB + BC + CD + (АК + DK) = (АВ + CD + AK) + (BC + DK) = 11 + 2 • 4 = 11 + 8 = 19 см.

Відповідь: 19 см.

а) Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція, AB = CD, AD ∥ ВС, АО = OD за умовою. △АВО, △ВСО, △COD — рівносторонні за умовою. Тобто △АВО = △ВСО = △COD, маємо АВ = ВС = CD = АО = OD. Враховуючи, що кути рівностороннього трикутника дорівнюють 60°, то маємо ∠A = ∠D = 60°. Звідки ∠B = ∠C = 180° - 60° = 120°.

Відповідь: 60°; 120°; 120°; 60°.

б) P_△_ABO = 12 м, то Р_АВС_D = AB + BC + CD + 2АО = 5АВ (AB = BC = CD = AO = OD). Враховуючи, що 3АВ = 12; АВ = 4 м, то P_ABCD = 5 • 4 = 20 м.

Відповідь: 20 м.

Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція, АВ = CD, AD ∥ ВС, AC — діагональ трапеція і бісектриса ∠А, ВС = 15 см, ∠А = 60°. За означенням бісектриси маємо ∠BAC = ∠CAD = 30°, ∠ВСА = ∠CAD = 30° (ВС ∥ AB, AC — січна). Маємо △АВС — рівнобедрений, тобто AB = ВС = 15 см. ∠В = ∠С = 180° - 60° = 120° (∠А + ∠В = 180°, AD ∥ ВС), то ∠ACD = ∠BCD - ∠ВСА = 120° - 30° = 90°. Тобто △АСD — прямокутний, то AD = 30 см (гіпотенуза в два рази більше за катет прямокутного трикутника, який лежить напроти кута в 30°).

Звідки маємо P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 3 • 15 + 30 = 45 + 30 = 75 см.

Відповідь: 75 см.

Нехай в трапеція ABCD AB = CD. За умовою ∠АСВ = ∠ACD, а ∠АСВ = ∠CAD (внутрішні різносторонні); ∠CAD = ∠ACD; △ADC — рівнобедрений; CD = AD = 10 см. Маємо: Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 10 + 5 + 10 + 10 = 35 см.

Відповідь: 35 см.

159. а) Побудуємо трикутник ACD за трьома сторонами (дві сторони дорівнюють трикутника AD і CD дорівнюють сторонам паралелограма, а третя сторона АС — діагоналі паралелограма). Через вершини С і А проведемо прямі, паралельні сторонам AD і DC, точка їх перетину В буде четвертою вершиною паралелограма ABCD.

б) Побудуємо діагональ АС. Побудуємо △АВС за трьома сторонами AB, ВС, АС, де АВ = АС — сторони ромба, АС — діагональ ромба. Через точку А проводимо пряму, паралельну ВС, через точку С проводимо пряму, паралельну АВ. Точку їх перетину позначимо D. ABCD — шуканий ромб.