ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
111. а) Якщо один з кутів ромба більший за інший, то мова йде про сусідні кути. Нехай один з них дорівнює х, тоді інший х + 120°. Маємо: х + х + 120° = 180°; 2х = 60°; х = 30°.
1) 30° + 120° = 150°.
Відповідь: 30°, 150°.
ABCD — ромб, AB = АС. ∠АВС — рівносторонній (AB = ВС як сторони ромба, AB = DC за умовою), ∠АВС = 180° : 3 = 60°, ∠DAB = 180° - ∠АВС = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
112. а) Оскільки протилежні кути ромба рівні, то маємо: 220° : 2 = 110°, а сусідній дорівнює 180° - 10° = 70°.
Відповідь: 70°, 110°.
б) Оскільки діагональ ромба є його бісектрисою, то один з кутів ромба дорівнює 25° • 2 = 50°, а сусідній 180° - 50° = 130°.
Відповідь: 50°, 130°.
114. У квадрата всі сторони рівні. Отже, Р = 4 • 5 = 20 см.
Відповідь: 20 см.
Розглянемо ABCD — паралелограм. За властивостями паралелограма ∠А + ∠B = 180°, то ∠A = 90°; враховуючи ∠A = ∠C = 90° і ∠В = ∠D = 90°. Тобто всі кути прямі. Маємо ABCD — прямокутник.
Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то і всі його сторони рівні (за властивістю паралелограма його протилежні сторони рівні), а це означає, що він є ромбом.
Нехай у прямокутнику ABCD: О — точка перетину його діагоналей; ОМ ⟂ AD, ОМ = 3 cм, ON ⟂ CD, ON = 4 cм. △DMO = △ВНО за гіпотенузою і гострим кутом; ОМ = ОН. МН = 2 • 3 = 6 см але МН ⟂ ВС, тому МН = АВ. Аналогічно, AD = 2 • ON = 2 • 4 = 8 см. PABCD = 2(АВ + AD) = 2 • (6 + 8) = 28 (см).
Відповідь: 28 см.
Нехай АЕ — бісектриса кута А прямокутника ABCD, ВС = 12 см, BE = EC = 6 см. ∠BAE = ∠EAD = 45°, ∠BEA = 45°. △АВЕ — рівнобедрений, AB = BE = 6 (cм). PABCD = 2(AB + BC) = 2 • (6 + 12) = 36 cм.
Відповідь: 36 cм.
AC ⟂ AB. Проведемо ОМ ⟂ AC, ON ⟂ AB, за умовою ОМ = 3 см, ON = 5 см. AMON — прямокутник; AM = NO = 5 см, AN = МО = 3 см.
МО — висота рівнобедреного △АОС (АО = ОС = R), тому вона є медіаною; М — середина AC i АС = 2 • AM = 2 • 5 = 10 см. Аналогічно ON — висота △АОВ (АО = ОВ = R); ON — медіана; AN = NB; AB = 2 • AN = 2 • 3 = 6 cм.
Відповідь: 10 cм, 6 cм.
Нехай ABCD — ромб, О — точка перетину його діагоналей. Нехай ∠BAC = х°, тоді ∠ABD = 4х°. Оскільки діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то △АОВ — прямокутний. Отже, ∠OAB + ∠ABO = 90°. Маємо: х + 4х = 90°; 5х = 90°; x = 18° - ∠OAB, 18° • 4 = 72° - ∠ABO. Діагоналі ромба є його бісектрисами, тому ∠DAB = 2 • ∠OAB - 2 • 15° = 36°, ∠ABC = 2 • ∠ABO = 2 • 72° = 144°.
Відповідь: 36°, 36°, 144°, 144°.
Нехай ABCD — даний ромб, а ВН — його висота.
Позначимо ВН за а, тоді АВ = 2а. Розглянемо прямокутний △АНВ. Оскільки в ньому катет в два рази менший за гіпотенузу, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Маємо ∠A = 30°, ∠D = 180° - 30° = 150°.
Відповідь: 30°, 30°, 150°, 150°.