ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас
681. Нехай CD — бісектриса ∠АСВ.
За властивістю суміжних кутів ABC = 180° - 128° = 52°. За властивістю рівнобедреного трикутника ∠АСВ = ∠ABC = 52°, ∠ACD = 52° : 2 = 26° — шуканий кут.
682. За умовою AC ⟂ m, BD ⟂ m, АС = BD, CO = OD, отже △АСО = △BDO за двома катетами.
Звідси AO = ОВ, △АОВ — рівнобедрений з основою АВ.
683. За умовою △АВС — рівнобедрений з основою АС, отже ∠A = ∠C. Розглянемо △ADE і △CFE. Вони рівні за стороною та прилеглими кутами. Отже, АЕ = EC, Е — середина АС.
684. 1) Нехай точки В, D лежать по один бік від прямої АС. Розглянемо △ABD і △CBD. BD — спільна сторона. Трикутники рівні за трьома сторонами. Отже, ∠ABD = ∠CBD. Нехай BD ⌒ АС = О, тоді ВО — бісектриса рівнобедреного △АВС, отже і його медіана, і висота. Тому ВО — серединний перпендикуляр до АС.
2) Якщо точки B i D лежать по різні боки від прямої АС, то BD — спільна, △ABD = △CBD за трьома сторонами, ∠ABD = ∠CBD, ВО — медіана, бісектриса, висота рівнобедреного △АВС. Тому ВО — серединний перпендикуляр до АС.
685. Розглянемо △ABD і △CBD, BD — спільна сторона. Трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними, отже AD = DC. △ADC — рівнобедрений.
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. △DAO = △DCO.
686. Розглянемо △DOA і △ВОС.
∠DOА = ∠ВОС як вертикальні.
△DOA = △ВОС за двома сторонами і кутом між ними. Отже, ∠DAO = ∠ВСО.
△АОС — рівнобедрений з основою АС, тому ∠ОАС = ∠ОСА. ∠DAC = ∠DAO + ∠ОАС; ∠ВСА = ∠ВСО + ∠ОСА. Отже, ∠DAC = ∠ВСА.
687. 1) O — центр описаного кола. Усі серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці, отже, О — середина АВ.
2) Оскільки центр описаного кола лежить на стороні трикутника, то △АВС — прямокутний, АВ — його гіпотенуза.
Отже, ∠С = 90°. За теоремою про суму кутів трикутника ∠A + ∠В = 180° - 90° = 90° = ∠С.
688. Нехай BD — медіана △АВС, тоді AD = DC = a. P△ABD = P△CBD = P.
АВ = Р - (AD + BD) = Р - (а + BD), ВС = Р - (DC + BD) = Р - (а + BD), отже, АВ = ВС, △АВС — рівнобедрений з основою АС.
690. За умовою △AFB = △AKB.
Тоді ∠FAB = ∠КВА і △АСВ рівнобедрений за ознакою, АС = ВС.
