ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

511. CD ⟂ АВ. △АОК = △BOK (за катетом і гіпотенузою: ОК — спільний катет, ОА = ОВ — як радіуси кола), тоді ∠AOD = ∠BOD.

512. Нехай AB = CD, OM ⟂ AB, ON ⟂ CD. Доведемо, що ОМ = ON. Оскільки ОМ ⟂ АВ, то AM = MB; оскільки ON ⟂ CD, то CN = ND. △ОMA = △ONC (за гіпотенузою і катетом: АО = СО — як радіуси, AM = CN — як половини рівних відрізків), тоді ОМ = ON.

513. Якщо хорди рівновіддалені від центра кола, то вони рівні. Нехай ОМ ⟂ AB, ON ⟂ CD і ОМ = ON. Доведемо, що AB = CD.

Оскільки ОМ ⟂ AB, ON ⟂ CD, то AM = MD, CN = ND, тобто щоб довести, що АВ = CD, достатньо довести, що AM = CN.

△AOM = △CON (за гіпотенузою і катетом: ОМ = ON за умовою, АО = ОС — як радіуси кола), тоді AM = CN. Отже, АВ = 2АМ = 2CN = CD.

514. Ні. Наприклад АВ ⟂ ОМ, але АВ не дотична.

Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

515. ∠OAB = 90° - ∠BAD = 90° - 35° = 55°, AO = ОВ, тому ∠OBA = ∠OAB = 55°, ∠AOB = 180° - 2 • 55° = 180° - 110° = 70°. Відповідь: 70°.

518. 1) AC є радіусом, AC ⟂ СВ, тому СВ — дотична;

2) АВ не перпендикулярна до радіуса АС, тому вона не є дотичною.

519. СВ = СО + ОВ = АО + ОВ > АВ.

520. OC ⟂ AB, OK = CK.

Із прямокутного △АОК маємо: ∠ОАК = 30° (оскільки АО = 2ОК).

Із прямокутного △ВОК маємо: ∠ОВК = 30° (оскільки ВО = 2ОК).

∠АОВ = 180° - ∠ОАВ - ∠ОВА = 180° - 30° - 30° = 120°.