ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

101. 1) Нехай ∠1 + ∠2 = 106°. Оскільки ∠1 і ∠2 — вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 106° : 2 = 53°. Оскільки ∠2 і ∠3 — суміжні, то ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 53° = 127°. Оскільки ∠3 і ∠4 — вертикальні, тo ∠4 = ∠3 = 127°.

Відповідь: 53°, 127°, 53°, 127°.

2) Нехай ∠4 + ∠2 + ∠3 = 305°. Оскільки ∠2 і ∠4 — суміжні, то ∠4 + ∠2 = 180°, тоді ∠3 = 305° - 180° = 125°. Оскільки ∠3 і ∠4 — вертикальні, то ∠4 = ∠3 = 125°. Оскільки ∠2 і ∠4 — суміжні, то ∠2 = 180° - 125° = 55°. Оскільки ∠1 і ∠2 — вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 55°.

Відповідь: 55°, 125°, 55°, 125°.

102. Нехай ∠3 - ∠2 = 64°, ∠2 = х°, тоді ∠3 = х° + 64°. Враховуючи, що ∠2 i ∠3 — суміжні, то х + х + 64 = 180. Звідси 2х + 64 = 180; 2х = 116; х = 116 : 2; х = 58, тоді х + 64 = 58 + 64 = 122. Отже, ∠2 = 58°, ∠3 = 122°. Оскільки ∠1 і ∠2, ∠3 і ∠4 — вертикальні, то ∠1 = ∠2 = 58°, ∠4 = ∠3 = 122°.

Відповідь: 58°, 122°, 58°, 122°.

103. ∠1 і ∠4, ∠3 і ∠5 — вертикальні, тоді ∠4 = ∠1, ∠3 = ∠5.

∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

104. ∠МОС = 180°- ∠ВОМ - ∠АОС = 180° - 70° - 15° = 95°.

∠DOK і ∠СОМ — вертикальні, то ∠DOK = ∠МОС = 95°.

∠AOM = ∠AOC + ∠COM = 70° + 95° = 165°.

∠AOD = ∠АОК + ∠KOD = 15° + 95° = 110°.

Відповідь: 95°, 165°, 110°.

105. ∠АОС і ∠ВОС — суміжні, OM i ON — бісектриси кутів АОС і ВОС відповідно.

106. ∠АОС і ∠DOB — вертикальні, ОМ і ON — бісектриси кутів АОС і BOD.

∠MON = ∠1 + ∠AOD + ∠3 = ∠1 + ∠2 + ∠ВОС = ∠АОС + ∠ВОС = 180°.

108. ∠АОВ і ∠ВОС — суміжні, BD — бісектриса кута АОВ, ∠ВОС - ∠BOD = 18°. Нехай ∠BOD = x°, тоді ∠AOD = x°, ∠BOC = x° + 18°. Враховуючи, що ∠AOD + ∠DOB + ∠ВОС = 180°, маємо рівняння: х + х + х + 18 = 180, звідси 3х + 18 = 180; 3х = 180 - 18; 3х = 162; х = 162 : 3; х = 54. Тоді ∠АОВ = 2 • 54° = 108°, ∠ВОС = 54° + 18° = 72°.

109. Кути МКЕ і РКЕ — суміжні. KF — бісектриса кута МКЕ, ∠FKE - ∠РКЕ = 24°. Нехай ∠РКЕ = х°, тоді ∠MKF = ∠FKE = х° + 24°. Враховуючи, що ∠MKF + ∠FKE + ∠ЕКР = 180°, маємо рівняння: х + 24 + х + 24 + х = 180, звідси 3х + 48 = 180; 3х = 180 - 48; 3х = 132; х = 132 : 3; x = 44. Toді ∠PKЕ = 44°, ∠MKЕ = 180° - 44° = 136°.

110. Нехай ∠АСВ = х°, тоді з умови ∠МАВ + ∠АСВ = 180° випливає, що

∠МАВ = 180° - ∠АСВ = 180° - х°. Оскільки ∠АСВ і ∠КСВ — суміжні, то ∠КСВ = 180° - ∠АСВ = 180° - х°. Отже, ∠МАВ = ∠КСВ = 180° - х°.