ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

Нехай △BCD — зовнішній кут при вершині С, ∠A = 18°, ∠BCD = 120°. ∠BCD = ∠A + ∠B (за властивістю зовнішнього кута трикутника). Звідси ∠B = ∠BCD - ∠A = 120° - 18° = 102°.

Відповідь: 102°.

Нехай △АВС — даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°.

∠РВС = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

∠BCM = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110° (як кут суміжний з кутом С).

∠NAP = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135° (як кут суміжний з кутом А).

Відповідь: 115°, 110°, 135°.

Нехай △KLM — даний трикутник,

∠NKL = 110°, ∠LMP = 140°.

∠NKL + ∠LKM = 180°(яксуміжнікути).

Звідси ∠LKM = 180° - 110° = 70°.

∠LMP + ∠LMK = 180° (як суміжні кути).

Звідси ∠LMK = 180° - 140° = 40°.

∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника). Звідси ∠L = 180° - (70° + 40°) = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 40°.

Нехай △АВС — даний трикутник, ∠BAD = 140°. Нехай ∠B = х, тоді ∠C = х + 30°. За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠ВАD = ∠B + ∠C. Складемо рівняння: х + х + 30° = 140°; 2х = 110°; х = 55°. Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°.

Відповідь: 55°, 85°.

2) Нехай △АВС — даний трикутник, ∠BAD = 140°, ∠В = x, тоді ∠С = 4х. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠В + ∠С. Складемо рівняння: х + 4х = 140°; 5х = 140°; х = 28°. Отже, ∠В = 28°, ∠С = 28° • 4 = 112°.

Відповідь: 28°, 112°.

Нехай △АВС — даний трикутник, ∠BCD = 120°, ∠А = х, тоді ∠В = х + 20°. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BCD = ∠А + ∠В. Складемо рівняння: х + х + 20° = 120°; 2х = 100°; х = 50°. Отже, ∠А = 50°, ∠В = 50° + 20° = 70°.

Відповідь: 50°, 70°.

2) Нехай △АВС — даний трикутник, ∠А = х, ∠В = 3x. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BCD = ∠А + ∠В. Складемо рівняння: х + 3х = 120°; 4х = 120°; х = 30°. Отже, ∠А = 30°, ∠В = 3 • 30° = 90°.

Відповідь: 30°, 90°.

456. I випадок.

Зовнішній кут при вершині трикутника. Нехай △АВС — даний рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), ∠А = ∠С. За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠DBC = ∠A + ∠C = 118°, ∠A = ∠C = 118° : 2 - 59°. ∠АВС = 180° - ∠DBC = 180° - 118° = 62°.

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

II випадок.

Зовнішній кут при основі трикутника. Нехай △АВС — даний рівнобедрений трикутник (BA = ВС). ∠DAB і ∠ВАС — суміжні, їх сума дорівнює 180°. ∠ВАС = 180° - 118° = 62°. Оскільки ∠ВАС = ∠ВСА (як кути при основі рівнобедреного трикутника), то ∠ВСА = 62°. ∠А + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 124° = 56°.

Відповідь: 62°, 62°, 54°.

І випадок. Зовнішній кут при вершині. Нехай △AВС даний рівнобедрений трикутник (АВ = ВС). ∠А = ∠С (як кути в основі рівнобедреного трикутника). ∠BDC = ∠А + ∠С за властивістю зовнішнього кута трикутника. 42° = ∠А + ∠C, звідси ∠А = ∠С = 42° : 2 = 21°. ∠В = 180° - 42° = 138°.

Відповідь: 21°, 21°, 138°.

II випадок. Зовнішній кут при основі. Цей випадок неможливий, бо тоді кути в основі будуть тупими, а у трикутнику можливий тільки один тупий кут.

Нехай △KNL — даний трикутник. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠RML = ∠К + ∠L, ∠MLN = ∠К + ∠М, ∠РКМ = ∠М + ∠L. Додамо рівності ∠RML + ∠MLN = ∠РКМ = ∠К + ∠L + ∠К + ∠М + ∠М + ∠L = 2(∠К + ∠M + ∠L) = 2 • 180° = 360°. Отже, сума зовнішніх кутів будь-якого трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

459. Нехай 3х, 5х і 4х — градусні міри зовнішніх кутів трикутника. Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, складемо рівняння: 3х + 5х + 4х = 360°; 12х = 360°; х = 30°. Таким чином, зовнішні кути трикутника дорівнюють 3 • 30° = 90°, 5 • 30° = 150°, 4 • 30° = 120°.

Знайдемо кути трикутника. Оскільки зовнішні кути трикутника суміжні з кутами трикутника, то вони відповідно дорівнюють 90°, 30°, 60° і відносяться як 3 : 1 : 2.

Відповідь: 3 : 1 : 2.

Нехай градусні міри кутів трикутника ∠K = 7х, ∠L = 8х, ∠M = 9х. Оскільки зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, маємо: ∠NLK = ∠К + ∠M = 7х + 9х = 16х. ∠PKL = ∠L + ∠М = 8х + 9х = 17х. ∠ОМК = ∠K + ∠L = 7х + 8х = 15х. Отже, відношення зовнішніх кутів 17 : 16 : 15.

Відповідь: 17 : 16 : 15.