ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 8 клас

194. 2¹⁴ - 2¹² - 2¹⁰ = 2¹⁰ • (2⁴ - 2² - 1) = 2¹⁰ • (16 - 4 - 1) = 2^{10 •} 11 — ділиться націло на 11.

195. 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ(3² + 1) - 2ⁿ(2² + 1) = 3ⁿ • 10 - 2ⁿ • 5 = 5 • (3ⁿ • 2 - 2ⁿ).

Доведемо, що вираз 3ⁿ • 2 - 2ⁿ ділиться націло на 2. Оскільки 3ⁿ • 2 кратне двом та 2ⁿ кратне двом, то їхня різниця також ділиться на 2. Отже, вираз 5 • (3ⁿ • 2 - 2ⁿ) ділиться на 10. Або: 5 • 2 • (3ⁿ - 2^n-1) = 10 • (3ⁿ - 2^n-1) — кратне 10.

196. Нехай на II складі було х кг картоплі, тоді на I складі 3х кг. На першому залишилось (3х - 400) кг, а це у 2 рази менше, ніж на другому. Маємо рівняння:

2 • (3х - 400) = х;

6х - 800 = х;

5х - 800;

х= 160 (кг) — було на другому складі;

3 • 160 = 480 (кг) — було на першому складі.

Відповідь: 480 кг.

197. Нехай куртка коштувала х грн, а костюм (х + 200) грн. Під час розпродажу куртка коштувала (0,9х) грн, а костюм 0,8(х + 200) грн. Маємо рівняння:

0,9х + 0,8(х + 200) = 1010;

0,9х + 0,8х + 160 = 1010;

1,7х = 850;

х = 850 : 1,7;

x = 500 (грн) — коштувала куртка, 500 +200 = 700 (грн) — коштував костюм.

Відповідь: 500 грн, 700 грн.

198. Нехай на зворотний шлях автомобіль витратив х год, а на шлях з пункту А в пункт В (х + 0,5) год. Тоді відстань від А до В 60(х + 0,5) км, а зворотний шлях становив 70х (км). Відомо, що різниця відстаней 15 км. Маємо рівняння:

60(х + 0,5) = 70х + 15;

60х + 30 = 70х + 15;

60х - 70х = 15 - 30;

-10х = -15;

х = 1,5 (год) — витратив на зворотний шлях.

1,5 + 0,5 = 2 (год) — з пункту А в пункт В.

Відповідь: 2 год.

200. Нехай купили х горобців, у голубів, z горлиць. Маємо систему рівнянь: