ГДЗ до підручника «Алгебра» H.А. Тарасенкової. 7 клас
771. 1) x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 + x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1 - x) (x2 + 1 + x);
2) x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = x4(x + 1) + x2 • (x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x4 + x2 + 1).
772. x3 - (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x - abc = x3 - ax2 - bx2 - cx2 + abx + acx + bcx - abc = x2(x - a) - bx(x - a) - cx(x - a) + bc(x - a) = (x - a)(x2 - bc - cx + bc) = (x - a)(x - b)(x - c).
773. ay3 - xy3 - ax3 + x3y + a3x - a2y = a(y3 - x3) - a3(y - x) - xy(y2 - x2) = a(y - x)(y2 + 2xy + x2) - a3(y - x) - xy(y - x)(y + x) = (y - x)(a(y2 + 2xy + x2) - a3 - xy(y + x)) = (y - x)(ay2 + 2axy + ax2 - a3 - xy2 - x2y).
774. n4 + 3n3 - n2 - 3n = n3(n + 3) - n(n + 3) = (n + 3)(n3 - n).
при n = 1 маємо, що 4 • 0 поділиться на 6; при n = 2 маємо, що 5 • 6 ділиться на 6, бо один із множників ділиться на 6. Нехай виконується для будь-якого n, тоді повинно виконуватися і для n + 1:
(n + 1 + 3)((n + 1)3 - (n + 1)) = (n + 4)(n + 1)2(n + 1)2 - 1) = (n + 4)(n + 1)(n + 1 - 1)(n + 1 + 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 4) — для будь-якого n вираз ділиться на 6.
775. (2n - 1)3 - (2n - 1) = (2n - 1)((2n - 1)2 - 1) = (2n - 1)(2n - 1 - 1)(2n - 1 + 1) = 2n(2n - 1)(2n - 2) = 4n(n - 1)(2n - 1) при n = 1 буде 0, а 0 ділиться на будь-яке число;
при n = 2 : 8 • 1 • 3 = 24 ділиться на 24;
при n = 3 : 12 • 2 • 5 : 24 = 5, також ділиться на 24;
при n = 4 : 16 • 3 • 7 = 48 • 7 ділиться на 24, в результаті отримаємо 14.
Нехай виконується для n = k, тоді і для n = k + 1 також буде виконуватися:
(2(k + 1) - 1)3 - (2(k + 1) - 1) = 4(k + 1) • (k + 1 - 1)(2k + 2 - 1) = 4(k + 1)k(2k + 1),
при k ≥ 0 для будь-якого k ≥ 0: 4(k + 1) • k(2k + 1) поділиться на 24, а значить і вираз (2n - 1)3 - (2n - 1) ділиться на 24 за математичною індукцією.
776. 1) a3 - 10a2 + 23a - 6 = a3 - 7a2 + 2a - 3a2 + 21a - 6 = a(a2 - 7a + 2) - 3(a2 - 7a + 2) = (a - 3)(a2 - 7a + 2);
2) 12х3 + 25х2 + 44х + 24 = 12х3 + 16х2 + 32х + 9х2 + 12х + 24 = 4х(3х2 + 4х + 8) + 3(3х2 + 4х + 8) = (4х + 3)(3х2 + 4х + 8).
777. 1) -3(2а2 + 4а - 1) = -3 • (-6) = 18;
2) а2 + 2а = -2,5; 2а2 + 4а - 1 = -6;
2а2 + 4а = -6 + 1; 2(а2 + 2а) = -5;
а2 + 2а = -2,5;
3) 12а4 + 48а3 + 42а2 - 12а = 12а(а(а2 + 2а + 2а) + 3,5а - 1) = 12а(а(-2,5 + 2а) + 3,5а - 1) = 12а(2а2 + а - 1) = 12а(2а2 + 4а - 1 - 4а + а) = 12а(-3а - 6) = -36а2 - 72а = -36(а2 + 2а) = -36 • (-2,5) = 90.
Застосуйте на практиці
778. а2 — площа підлоги першої кімнати; b2 — площа підлоги другої кімнати;
2аb — подвоєна площа підлоги третьої кімнати;
а2 + b2 + 2аb = 49; (а + b)2 = 49; а + b = 7.
Р = 2 • (а + b) = 2 • 7 = 14 (м) — периметр кімнати, що має форму прямокутника.
779. Нехай х — вік тата; у — вік доньки, тоді х2 - у2 = 25 • 49;
(х - у)(х + у) = 25 • 49; х - у = 25,
а (х + у) = 49, тоді маємо, що у = 12,
а х = 37.
12 років доньці і 37 років татові.
Задачі на повторення
