ГДЗ до підручника «Алгебра» H.А. Тарасенкової. 7 клас

21. х⁴ + 2х²у² + у⁴ = х⁴ - 2х²у² + у⁴ + 4х²у²;

х⁴ + 2х²y² + у⁴ = х⁴ + 2х²у² + у⁴; 0 = 0, що й потрібно було довести.

22. 1) a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = a²c² + 2acbd + b²d² + b²c² - 2abcd + a²d²;

a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = a²c² + a² d² + b²c² + b²d²; 0 = 0;

2) a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = a²c² - 2abcd + b²d² + b²c² + 2abcd + a²d²;

a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²; 0 = 0.

23. ((x² + y) - 4)² - (x⁴ + x²y - 8x² + x²y + y² - 8y - x² - y + 8) = (x² + y)² - 8(x² + y) + 16 - x⁴ - x²y + 8x² - x²y - y² + 8y + x² + у - 8 = x⁴ + 2x²y + y² - 8x² - 8y + 16 - x⁴ - 2x²y + 8x² - y² + 8y + x² + у - 8 = 8 + x² + y = x² + y + 8.

25. 1) (98 - 48)(98 + 48) = 50 • 146 = 7300;

2) (2,32 - 0,68)(2,32 + 0,68) = 1,64 • 3 = 4,92;

3) 67 • 70 = (70 - 3)(70 + 3) = 70² - 9 = 4900 - 9 = 4891.

28. 1) (3 + 2n - 2 - 3n)(3 + 2n + 2 + 3n) = (1 - n)(5n + 5) = 5(1 - n)(1 + n);

5(1 - n)(1 + n) : 5 = (1 - n)(1 + n) = 1 - n²;

2) (4 + 2n - 2n)((4 + 2n)² + 2n(4 + 2n) + 4n²) = 4 • (16 + 16n + 4n² + 8n + 4n² + 4n²) = 4 • (12n² + 24n + 16) : 4 = 12n² + 24n + 16.

Тобто вираз ділиться на 4, що й потрібно було довести.

29. 1) 1 спосіб: Застосуємо формулу різниці квадратів:

(х + 3)² - (х - 3)² = (х + 3 + х - 3)(х + 3 - х + 3) = 2x • 6 = 12х;

2 спосіб: застосуємо формули «квадрат різниці» і «квадрат суми»:

(х + 3)² - (х - 3)² = х² + 6х + 9 - х² + 6х - 9 = 12х;

2) 1 спосіб: застосуємо формулу «різниця кубів»:

(х + 2)³ - (х - 2)³ = (х + 2 - х + 2)((х + + 2)² + (х + 2)(х - 2) + (х - 2)²) = 4(х² + 4х + 4 + х² - 4 + х² - 4х + 4) = 4(3х² + 4) = 12х² + 16;

2 спосіб: (х + 2)(х + 2)(х + 2) - (х - 2)(х - 2)(х - 2) = (х² + 4х + 4)(х + 2) - (х² - 4х + 4)(х - 2) = х³ + 2х² + 4х² + 8х + 4х + 8 - (х³ - 2х² - 4х² + 8х + 4х - 8) = х³ + 6х² + 12х + 8 - х³ + 6х² - 12х + 8 = 12х² + 16.

30. 1) Нехай n, n + 1 — два послідовних натуральних числа, тоді:

(n + 1)² - n² = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1 — непарне число при будь-яких n.

2) 2k і 2k + 2 — два парних послідовних натуральних числа.

(2k + 2)² - (2k)² = (2k + 2 + 2k)(2k + 2 - 2k) = 2(4k + 2) = 2 • 2 • (2k + 1) = 4(2k + 1);

4(2k + 1) : 4 = 2k + 1, що й треба було довести.

3) 2k + 1 і 2k + 3 — непарні послідовні натуральні числа.

(2k + 3)² - (2k + 1)²(2k + 3 - 2k - 1)(2k + 3 + 2k + 1) = 2(4k + 4) = 2 • 4(k + 1) = 8(k + 1);

8(k + 1) : 8 = k + 1, що й треба було довести.

31. Нехай сторона квадрата х см, тоді сторони прямокутника (х - 3) см та (х + 4) см, звідси:

х² = (х - 3)(х + 4); х² = х² + 4х - 3х - 12; х = 12.

12 см — сторона квадрата; 9 см і 16 см — сторони прямокутника.

32. Нехай початкова сторона квадрата дорівнює х см, тоді (х - 3) см — сторона квадрата після зменшення. Складаємо рівняння:

х² - (х - 3)² = 39; х² - х² + 6х - 9 = 39; 6х = 48; х = 8.

Початкова сторона квадрата — 8 см.

33. Нехай початкова сторона куба х см, тоді (х - 2) см — сторона після зменшення. Складаємо рівняння:

х³ - (х - 2)³ = 218; (х - х + 2)(х² + х(х - 2) + (х - 2)²) = 218; 2(х² + х² - 2х + х² - 4х + 4) = 218; 3х² - 6х + 4 = 109; 3х² - 6х - 105 = 0; х² - 2х - 35 = 0; х = 7 — підходить.

7 см — початкова сторона куба.

34. 1) 2b⁵ + 3b⁴ + 6b + 9 = 2b(b⁴ + 3) + 3(b⁴ + 3) = (b⁴ + 3)(2b + 3);

2) ((5х + 1 - 4х)((5х + 1)² + 4х(5х + 1) + 16х²) = (х + 1)(25х² + 10х + 1 + 20х² + 4х + 16х²) = (х + 1)(25х² + 10х + 1 + 20х² + 4х + 16х²) = (х + 1)(61х² + 14х + 1);

3) х³(х²у² - 5) - 7(х²у² - 5) = (х²у² - 5)(х³ - 7);

4) (-4а + 3ху + 2ху)((-4а + 3ху)² - 2ху(-4а + 3ху) + 4х²у²) = (5ху - 4а)(16а² - 24аху + 9х²у² + 3аху - 6х²у² + 4х²у²) = (5ху - 4а)(16а² + 7х²у² - 16аху).

35. n, n + 1, n + 2 — три послідовні натуральні числа.

n • (n + 2) = (n + 1)² - 1;

n² + 2n = n² + 2n + 1 - 1; n² + 2n = n² + 2n;

0 = 0. Що й треба було довести.