ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 7 клас
691. 1) 3413 + 1093 = (341 + 109)(3412 - 341 • 109 + 1092) = 450 • (3412 - 341 • 109 + 1092) — ділиться націло на 90, бо 450 ділиться на 90.
2) 215 + 33 = (25)3 + 3я = (25 + 3) • (210 - 3 • 23 + 32) = 35 • (210 - 3 • 25 + 32) — ділиться націло на 35, бо 35 ділиться на 35.
692. При n = 6, х2n - у3n = x12 - y18.
х12 - у18 = (х6 - y9) (х6 + y9);
х12 - y18 = (х4 - y6)(х8 + х4y6 + у12).
693. х12 - y12 = (х6)2 - (y6)2 = (х6 - y6)(х6 + y6) = (x3 - y3)(х3 + y3)(х6 + y6) = (х - y) • (х2 + хy + y2)(х + y)(х2 - хy + y2)(х2 + y2) • (х4 - х2р2 + y4);
x12 - у12 = (х4)3 - (у4)3 = (x4 - y4)(х8 + х4у4 + y8) = (х2 - у2)(х2 + y2)(x8 + х4у4 + у8) = (x - у) • (x + у)(х2 + y2)(x8 + x4у4 + у8).
694. 1) а2 - b2 = (а - b)(а + b). Якщо сума двох натуральних чисел а + b ділиться націло на деяке натуральне число, то на це число ділиться і різниця їхніх квадратів, тобто а2 - b2 = (а - b)(а + b).
2) а2 + b2. Не можна стверджувати, що сума квадратів ділиться на це число.
3) а3 + b3 = (а + b)(а2 - ab + b2). Сума кубів ділиться на число, якщо на це число ділиться (а + b).
695. Нехай 2n - 1 і 2n + 1 — дані числа. Тоді (2n - 1)3 + (2n + 1)3 = (2n - 1 + 2n + 1) • ((2n - 1)2 - (2n - 1)(2n + 1) + (2n + 1)2) = 4n((2n - 1)2 - (2n - 1)(2n + 1) + (2n + 1)2); ділиться на 4, бо 4 ділиться на 4.
696. 3n + 1 і 3n + 2 — дані числа.
(3n + 1)3 + (3n + 2)3 = (3n + 1 + 3n + 2) • ((3n + 1)2 - (3n + 1)(3n + 2) + (3n + 2)2) = (6n + 3)(9n2 + 6n + 1 - 9n2 - 3n - 6n - 2 + 9n2 + 12n + 4) = (6n + 3)(9n2 + 9n + 3) = 3(2n + 1) • 3(3n2 + 3n + 1) = 9(2n + 1) • (3n2 + 3n + 1) — ділиться націло на 9, бо 9 ділиться на 9.
697. x6 + 3х2у2 + у6 = (х2)3 + (у2)3 + 3х2у2 = (х2 + у2)(х4 - х2у2 + у4) + 3х2y2 = 1 • (х4 - х2у2 + y4) + 3x2y2 = x4 + 2х2у2 + у4 = (х2 + y2)2 = 12 = 1.
698. x3 - y2 = 2. х9 - 6х3у2 - у6 = (х3)3 - (у2)3 - 6х3у2 = (х3 - у2)(х6 + х3у2 + у4) - 6x3y2 = 2(х6 + х3у2 + у4) - 6x3у2 = 2(x6 + x3у2 + у4 - 3x3y2) = 2(х6 - 2х3y2 + у4) = 2(х3 - у2)2 = 2 • 22 = 2 • 4 = 8.
699. 2a - b = 1.
8а3 - b3 = (2а)3 - b3 = (2а - b)(4а2 + 2ab + b2) = 4а2 + 2ab + b2 = (4a2 - 4аb + b2) + 6аb = (2а - b)2 + 6ab = 1 + 6ab = 6ab + 1.
700. a + 3b = 2.
a3 + 27b3 = (a + 3b)(a2 - 3ab + 9b2) = 2 • (a2 - 3ab + 9b2) = 2(a2 + 6ab + 9b2 - 9ab) = 2((a + 3b)2 - 9ab) = 2(22 - 9ab) = 8 - 18ab.
