ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 7 клас

411. Нехай ширина прямокутника х см, тоді довжина його (х + 2) см, а площа х(х + 2) см2. Якщо довжину збільшити на 2 см, а ширину зменшити на 4 см, то виміри будуть рівні (х - 4) см і (х + 4) см, а площа прямокутника (х - 4) • (х + 4) см2.

За умовою х(х + 2) - (х + 4)(х - 4) = 40; х2 + 2х - (х2 + 4х - 4х - 16) = 40; х2 + 2х - х2 + 16 = 40; 2х = 40 - 16; 2х = 24; х = 12 см — ширина прямокутника.

12 + 2 = 14 см — довжина прямокутника.

412. 1) х2 - 8х + 7 = (х - 1)(х - 7) — тотожність; х2 - 8х + 7 = х2 - х - 7х + 7; х2 - 8х + 7 = х2 - 8х + 7 — правильна рівність;

2) у2(у - 7)(у + 2) = у4 - 5у3 - 14y2 — тотожність; у22 - 7у + 2у - 14) = у4 - 5у3 - 14y2; у4 - 5у3 - 14у2 = у4 - 5у3 - 14у2 — правильна рівність;

3) а3 - 8 = (а - 2)(а2 + 2а + 4) — тотожність; а3 - 8 = а3 + 2а2 + 4а - 2а2 - 4а - 8; а3 - 8 = а3 - 8 — правильна рівність;

4) (а - 1)(а + 1)(а2 + 1) = а4 - 1 — тотожність; (а2 - а + а - 1)(а2 + 1) = а4 - 1; (а2 - 1) • (а2 + 1) = а4 - 1; а4 - а2 + а2 - 1 = а4 - 1; а4 - 1 = а4 - 1 — правильна рівність;

5) (а4 - а2 + 1)(а4 + а2 + 1) = а8 + а4 + 1 — тотожність; а8 - а6 + а4 + а6 - а4 + а2 + а4 - а2 + 1 = а8 + а4 + 1; а8 + а4 + 1 = а8 + а4 + 1 — правильна рівність.

414. (n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5) = n2 + 9n + 11n + 99 - n2 – 3n – 5n - 15 = 12n + 84 = 12(n + 7) — кратне 12 при будь-яких значеннях n, бо 12 кратне 12.

415. (n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1) = n2 + 29n + 3n + 87 - n2 – 7n - n - 7 = 24n + 80 = 8(3n + 10) — кратне 8 при всіх значеннях n.

416. 1) (а - 2)(* + 6) = а2 + * - *;

(а - 2)(а + 6) = а2 + 4а - 12;

2) (2а + 7)(а - *) = * + * - 14;

(2а + 7) • (а - 2) = 2а2 + 3а - 14.

417. 1) (х + 3)(* + 5) = 3х2 + * + *;

(х + 3) • (3х + 5) = 3х2 + 14х + 15;

2) (х - 4)(х + *) = * + * + 24;

(х - 4)(х - 6) = х2 - 10х + 24.

418. Нехай х; х + 1; х + 2; х + 3 — шукані числа.

(х + 1)(х + 2) - х(х + 3) = х2 + 2х + х + 2 - х2 - 3х = 2. Ця різниця не залежить від вибору числа, вона завжди дорівнює 2.

419. Нехай х; х + 1; х + 2 — шукані числа.

(х + 1)2 - х(х + 2) = (х + 1)(х + 1) - х2 - 2х = х2 + х + х + 1 - х2 - 2х = 1. Ця різниця дорівнює 1 і не залежить від вибору числа.