ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 7 клас

411. Нехай ширина прямокутника х см, тоді довжина його (х + 2) см, а площа х(х + 2) см². Якщо довжину збільшити на 2 см, а ширину зменшити на 4 см, то виміри будуть рівні (х - 4) см і (х + 4) см, а площа прямокутника (х - 4) • (х + 4) см².

За умовою х(х + 2) - (х + 4)(х - 4) = 40; х² + 2х - (х² + 4х - 4х - 16) = 40; х² + 2х - х² + 16 = 40; 2х = 40 - 16; 2х = 24; х = 12 см — ширина прямокутника.

12 + 2 = 14 см — довжина прямокутника.

412. 1) х² - 8х + 7 = (х - 1)(х - 7) — тотожність; х² - 8х + 7 = х² - х - 7х + 7; х² - 8х + 7 = х² - 8х + 7 — правильна рівність;

2) у²(у - 7)(у + 2) = у⁴ - 5у³ - 14y² — тотожність; у²(у² - 7у + 2у - 14) = у⁴ - 5у³ - 14y²; у⁴ - 5у³ - 14у² = у⁴ - 5у³ - 14у² — правильна рівність;

3) а³ - 8 = (а - 2)(а² + 2а + 4) — тотожність; а³ - 8 = а³ + 2а² + 4а - 2а² - 4а - 8; а³ - 8 = а³ - 8 — правильна рівність;

4) (а - 1)(а + 1)(а² + 1) = а⁴ - 1 — тотожність; (а² - а + а - 1)(а² + 1) = а⁴ - 1; (а² - 1) • (а² + 1) = а⁴ - 1; а⁴ - а² + а² - 1 = а⁴ - 1; а⁴ - 1 = а⁴ - 1 — правильна рівність;

5) (а⁴ - а² + 1)(а⁴ + а² + 1) = а⁸ + а⁴ + 1 — тотожність; а⁸ - а⁶ + а⁴ + а⁶ - а⁴ + а² + а⁴ - а² + 1 = а⁸ + а⁴ + 1; а⁸ + а⁴ + 1 = а⁸ + а⁴ + 1 — правильна рівність.

414. (n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5) = n² + 9n + 11n + 99 - n² – 3n – 5n - 15 = 12n + 84 = 12(n + 7) — кратне 12 при будь-яких значеннях n, бо 12 кратне 12.

415. (n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1) = n² + 29n + 3n + 87 - n² – 7n - n - 7 = 24n + 80 = 8(3n + 10) — кратне 8 при всіх значеннях n.

416. 1) (а - 2)(* + 6) = а² + * - *;

(а - 2)(а + 6) = а² + 4а - 12;

2) (2а + 7)(а - *) = * + * - 14;

(2а + 7) • (а - 2) = 2а² + 3а - 14.

417. 1) (х + 3)(* + 5) = 3х² + * + *;

(х + 3) • (3х + 5) = 3х² + 14х + 15;

2) (х - 4)(х + *) = * + * + 24;

(х - 4)(х - 6) = х² - 10х + 24.

418. Нехай х; х + 1; х + 2; х + 3 — шукані числа.

(х + 1)(х + 2) - х(х + 3) = х² + 2х + х + 2 - х² - 3х = 2. Ця різниця не залежить від вибору числа, вона завжди дорівнює 2.

419. Нехай х; х + 1; х + 2 — шукані числа.

(х + 1)² - х(х + 2) = (х + 1)(х + 1) - х² - 2х = х² + х + х + 1 - х² - 2х = 1. Ця різниця дорівнює 1 і не залежить від вибору числа.