ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 7 клас

401. 1) (а + 1)(а - 2)(а - 3) = (а² + а - 2а - 2) • (а - 3) = (а² - а - 2)(а - 3) = а³ - 3а² - а² + 3а - 2а + 6 = а³ - 4а² + а + 6;

2) (3а - 2)(а + 3)(а - 7) = (3а² - 2а + 9а - 6) • (а - 7) = (3а² + 7а - 6)(а - 7) = 3а³ + 7а² - 6а - 21а² - 49а + 42 = 3а³ - 14а² - 55а + 42;

3) (а² - 2а + 1)(а² + 3а - 2) = а⁴ - 2а³ + а² + 3а³ - 6а² + 3а - 2а² + 4а - 2 = а⁴ + а³ - 7а² + 7а - 2;

4) (а + 1)(а⁴ - а³ + а² - а + 1) = а⁵ - а⁴ + а³ - а² + а + а⁴ - а³ + а² - а + 1 = а⁵ + 1.

402. 1) (а + 5)² = (а + 5)(а + 5) = а² + 5а + 5а + 25 = а² + 10а + 25;

2) (4 - 3b)² = (4 - 3b)(4 - 3b) = 16 - 12b - 12b + 9b² = 16 - 24b + 9b²;

3) (а + b + с)² = (а + b + с)(а + b + с) = а² + ab + ас + ab + b² + bс + ас + bс + с² = а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс;

4) (а - b)³ = (а - b)(а - b)(а - b) = (a² - ab – ab + b²)(а - b) = (а² - 2аb + b²)(а - b) = а³ - 2а²b + ab² - bа² + 2аb² - b³ = а³ - 3а²b + 3ab² - b³.

404. (х - 3)(х² + 7) - (х - 2)(х² - х + 5) = х³ - 3х² + 7х - 21 - (х³ - х² + 5х - 2х² + 2х - 10) = х³ - 3х² + 7х - 21 - х³ + х² - 5х + 2х² - 2х + 10 = -11. Отже, значення виразу дорівнює -11 при будь-яких значеннях х.

407. Нехай х; х + 1; х + 2; x + 3 — послідовні натуральні числа, тоді (х + 1) • (х + 3) - 17 = х(х + 2); х² + х + 3х + 3 - 17 = х² + 2х; х² - х² + 4х - 2х = 14; 2х = 14; х = 7. 7; 8; 9; 10 — шукані числа.

408. Нехай х; х + 1; х + 2 — шукані числа. Тоді (х + 1)(х + 2) - 50 = х²; х² + х + 2х + 2 - х² = 50; 3х = 50 - 2; 3х = 48; х = 48 : 3; х = 16. 16; 17; 18 — шукані числа.

409. Нехай сторона квадрата х см, тоді сторони прямокутника (х + 3) см і (х - 5) см. Тоді площа квадрата х², а площа прямокутника (х + 3)(х - 5). За умовою х² - (х + 3)(х - 5) = 45; х² - х² - 3х + 5х + 15 = 45; 2х = 45 - 15; 2х = 30; х = 30 : 2; х = 15 см — сторона квадрата.

410. Нехай х см — одна сторона прямокутника, тоді (30 - х) см — друга сторона прямокутника. Якщо одну сторону зменшити на 5 см, то вона буде рівна (х - 5) см, а якщо другу збільшити на 3 см, то вона буде рівна (30 - х + 3) = (33 - х) см. Площа зменшиться на 21 см², тому х • (30 - х) - (х - 5)(33 - х) = 21; 30х - х² - (33х - 165 - х² + 5х) = 21; 30х - х² - 33х + 165 + х² - 5х = 21; -8х = -165 + 21; -8х = -144; х = -144 : (-8); х = 18 (см) — одна сторона прямокутника.

30 - 18 = 12 см — друга сторона прямокутника.