ГДЗ до підручника «Алгебра» В.Р. Кравчука. 7 клас

551. a) (1 - x)(1 + x + x2) = x - x3;

1 - x3 = x - x3;

x = 1;

Відповідь: 1;

б) -8z + z3 = (z - 4)(z2 + 4z + 16);

-8z + z3 = z3 - 64;

-8z = -64;

z = -64 : (-8);

z = 8.

Відповідь: 8.

552. а) (а + b)(а2 - аb + b2 + 3а - 3b + 3) = (а + 1)3 + (b - 1)3;

а3 - a2b + ab2 + 3а2 - 3аb + 3а + а2b - ab2 + b3 + 3аb - 3b2 + 3b = а3 + 3а2 + 3а + b3 - 3b2 + 3b;

(а + 1)3 + (b - 1)3 = а3 + 3а2 + 3а + 1 + b3 - 3b2 + 3b - 1 = а3 + 3а2 + 3a + 3b - 3b2 + b3, тотожність доведено;

б) а4 - b4 = (а - b)(а3 + а2b + аb2 + b3);

а4 - b4 = (а2 - b2)(а2 + b2) = (а - b)(а + b)(а2 + b2);

(а - b)(а3 + а2b + аb2 + b3) = (а - b)(а2(а + b) + b2(а + b)) = (а - b)(а + b)(а2 + b2), тотожність доведено;

в) а5 - b5 = (а - b)(а4 + a3b + а2b2 + ab3 + b4)(а - b)(а4 + а3b + а2b2 + аb3 + b4) = а5 + а4b + а3b2 + а2b3 + аb4 - а4b - а3b2 - а2b3 - аb4 - b5 = а5 - b5, тотожність доведено;

г) а5 + b5 = (а + b)(а4 - а3b + а2b2 - аb3 + b4) (а + b)(а4 - а3b + а2b2 - аb3 + b4) = а5 - а4b + а3b2 - а2b3 + аb4 + а4b - а3b2 + а2b3 - аb1 + b5 = а5 + b5, тотожність доведено.

553. a) 1245 - 745 = (124 - 74) • (1244 + 1243 • 74 - 1242 • 742 + 124 • 743 + 744) = 50 • (1244 + 1233 • 74 - 1242 • 742 + 124 • 743 + 743) — ділиться на 50;

б) 875 + 885 = (87 + 88) • (874 - 873 • 88 + 882 • 872 - 87 • 883 + 884 — ділиться на 175.

554. а) 610 + 810 = (62)5 + (82)5 = 365 + 645 = 100 • (364 - 363 • 64 + 362 • 64 - 36 • 643 + 644) — ділиться на 100;

б) 315 - 220 - (33)5 - (24)5 - 275 - 165 - (27 - 16) • (274 + 273 • 16 + 272 • 162 + 27 • 163 + 164) = 11 • (274 + 273 • 16 + 272 • 162 + 27 • 163 + 164) — ділиться на 11.

556. а) (2х - у)(х - 2у) + 5ху = 2х2 - 4ху - ху + 2у2 + 5ху = 2х2 + 2y2;

б) (3а - b)(-а + 3b) + 3(а2 + b2) = -3а2 + 9ab + ab - 3b2 + 3а2 + 3b2 = 10аb;

в) (а2 - а + 1)(а2 + а + 1) - (а2 + 1)2 = а4 + а3 + а2 - а3 - а2 - а + а2 + а + 1 - а4 - 2а2 - 1 = -а2.

557. a) 410 - (45 + 3) • (45 - 3) = 410 - (410 - 9) = 410 - 410 + 9 = 9;

б) 212 • 312 - 4 - (66 + 4) • (66 - 4) = 612 - 4 - (612 - 16) = 612 - 4 - 612 + 16 = 12.

559. Нехай деякі два хлопчики не є братами, тоді вони не мають спільного брата і разом мають не менше 4 братів, а для цього необхідно 6 хлопчиків, а за умовою на майданчику є всього 5 хлопців. Отже, всі хлопчики є братами.

560. а) 7а2 - 7b2 = 7(а2 - b2) = 7(а - b)(а + b);

б) km2 - kn2 = k(m2 - n2) = k(m - n)(m + n);

в) 9x2 - 36 = 9(x2 - 4) = 9(x - 2)(x + 2);

г) 4а3 - 4а = 4a(a2 - 1) = 4а(а - 1)(а + 1);

д) х4 - x2 = х22 - 1) = х2(х - 1)(х + 1);

е) са2 - 9сb2 = с(а2 - 9b2) = с(а - 3b)(a + 3b);

є) 2а3 - 2b3 = 2(а3 - b3) = 2(а - b)(а2 + ab + b2);

ж) 27с + b3с = с(27 + b3) = с(3 + b)(9 - 3b + b2).