ГДЗ до підручника «Алгебра» В.Р. Кравчука. 7 клас

551. a) (1 - x)(1 + x + x²) = x - x³;

1 - x³ = x - x³;

x = 1;

Відповідь: 1;

б) -8z + z³ = (z - 4)(z² + 4z + 16);

-8z + z³ = z³ - 64;

-8z = -64;

z = -64 : (-8);

z = 8.

Відповідь: 8.

552. а) (а + b)(а² - аb + b² + 3а - 3b + 3) = (а + 1)³ + (b - 1)³;

а³ - a²b + ab² + 3а² - 3аb + 3а + а²b - ab² + b³ + 3аb - 3b² + 3b = а³ + 3а² + 3а + b³ - 3b² + 3b;

(а + 1)³ + (b - 1)³ = а³ + 3а² + 3а + 1 + b³ - 3b² + 3b - 1 = а³ + 3а² + 3a + 3b - 3b² + b³, тотожність доведено;

б) а⁴ - b⁴ = (а - b)(а³ + а²b + аb² + b³);

а⁴ - b⁴ = (а² - b²)(а² + b²) = (а - b)(а + b)(а² + b²);

(а - b)(а³ + а²b + аb² + b³) = (а - b)(а²(а + b) + b²(а + b)) = (а - b)(а + b)(а² + b²), тотожність доведено;

в) а⁵ - b⁵ = (а - b)(а⁴ + a³b + а²b² + ab³ + b⁴)(а - b)(а⁴ + а³b + а²b² + аb³ + b⁴) = а⁵ + а⁴b + а³b² + а²b³ + аb⁴ - а⁴b - а³b² - а²b³ - аb⁴ - b⁵ = а⁵ - b⁵, тотожність доведено;

г) а⁵ + b⁵ = (а + b)(а⁴ - а³b + а²b² - аb³ + b⁴) (а + b)(а⁴ - а³b + а²b² - аb³ + b⁴) = а⁵ - а⁴b + а³b² - а²b³ + аb⁴ + а⁴b - а³b² + а²b³ - аb¹ + b⁵ = а⁵ + b⁵, тотожність доведено.

553. a) 124⁵ - 74⁵ = (124 - 74) • (124⁴ + 124³ • 74 - 124² • 74² + 124 • 74³ + 74⁴) = 50 • (124⁴ + 123³ • 74 - 124² • 74² + 124 • 74³ + 74³) — ділиться на 50;

б) 87⁵ + 88⁵ = (87 + 88) • (87⁴ - 87³ • 88 + 88² • 87² - 87 • 88³ + 88⁴ — ділиться на 175.

554. а) 6¹⁰ + 8¹⁰ = (6²)⁵ + (8²)5 = 36⁵ + 64⁵ = 100 • (36⁴ - 36³ • 64 + 36² • 64 - 36 • 64³ + 64⁴) — ділиться на 100;

б) 3¹⁵ - 2²⁰ - (3³)⁵ - (2⁴)⁵ - 27⁵ - 16⁵ - (27 - 16) • (27⁴ + 27³ • 16 + 27² • 16² + 27 • 16³ + 16⁴) = 11 • (27⁴ + 27³ • 16 + 27² • 16² + 27 • 16³ + 16⁴) — ділиться на 11.

556. а) (2х - у)(х - 2у) + 5ху = 2х² - 4ху - ху + 2у² + 5ху = 2х² + 2y²;

б) (3а - b)(-а + 3b) + 3(а² + b²) = -3а² + 9ab + ab - 3b² + 3а² + 3b² = 10аb;

в) (а² - а + 1)(а² + а + 1) - (а² + 1)² = а⁴ + а³ + а² - а³ - а² - а + а² + а + 1 - а⁴ - 2а² - 1 = -а².

557. a) 4¹⁰ - (4⁵ + 3) • (4⁵ - 3) = 4¹⁰ - (4¹⁰ - 9) = 4¹⁰ - 4¹⁰ + 9 = 9;

б) 2¹² • 3¹² - 4 - (6⁶ + 4) • (6⁶ - 4) = 6^{12 -} 4 - (6¹² - 16) = 6¹² - 4 - 6¹² + 16 = 12.

559. Нехай деякі два хлопчики не є братами, тоді вони не мають спільного брата і разом мають не менше 4 братів, а для цього необхідно 6 хлопчиків, а за умовою на майданчику є всього 5 хлопців. Отже, всі хлопчики є братами.

560. а) 7а² - 7b² = 7(а² - b²) = 7(а - b)(а + b);

б) km² - kn² = k(m² - n²) = k(m - n)(m + n);

в) 9x² - 36 = 9(x² - 4) = 9(x - 2)(x + 2);

г) 4а³ - 4а = 4a(a² - 1) = 4а(а - 1)(а + 1);

д) х⁴ - x² = х²(х² - 1) = х²(х - 1)(х + 1);

е) са² - 9сb² = с(а² - 9b²) = с(а - 3b)(a + 3b);

є) 2а³ - 2b³ = 2(а³ - b³) = 2(а - b)(а² + ab + b²);

ж) 27с + b³с = с(27 + b³) = с(3 + b)(9 - 3b + b²).