ГДЗ до підручника «Алгебра» В.Р. Кравчука. 7 клас

До § 4. Формули скороченого множення

1131. (a - (-b)n)2 + (a + (-b)n)2 = a2 - 2a(-b)n + b2n + а2 + 2а(-b)n + b2n = 2а2 + 2b2n.

1132. а) (|х| - х)(|х| + х) = 1 - |х|; |х|2 - х2 = 1 - |х|; х2 - х2 = 1 - |х|; |х| = 1; х = 1 або х = -1;

б) (2|х| - 1)(2|х| + 1) = (х - 1)(4х - 1); 4х2 - 1 = 4х2 - 4х - х + 1; 5х = 2; х = 0,4;

в) (1 - |х|)(1 + |х|)(1 + |х|2) + x4 = |х|; (1 - |х|2)(1 + |х|2) + x4 = |х|; 1 - |х|4 + x4 = |х|; 1 - х4 + х4 = |х|; |х| = 1; х = 1 або х = -1.

1133. а) (а2 + 1)2 + 6(а2 + 1) + 5 = (а2 + 1)2 + 6(а2 + 1) + 9 - 4 = (а2 + 1 + 3)2 - 22 = (а2 + 4 - 2)(а2 + 4 + 2) = (а2 + 2)(а2 + 6);

б) (с2 - 3с)2 - 2(с2 - 3с) - 8 = (с2 - 3с)2 - 2(с2 - 3с) + 1 - 9 = (с2 - 3с - 1)2 - 32 = (с2 - 3с - 1 - 3)(с2 - 3с - 1 + 3) = (с2 - 3с - 4)(с2 - 3с + 2);

в) (а2 - 4а)2 - 2а2 + 8а - 15 = (а2 - 4а)2 - 2(а2 - 4а) + 1 - 16 = (а2 - 4а - 1)2 - 42 = (а2 - 4а - 1 - 4)(а2 - 4а - 1 + 4) = (а2 - 4а - 5)(а2 - 4а + 3);

г) (х2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) - 3 = (х2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) + 1 - 4 = (х2 + 2х - 1)2 - 22 = (х2 + 2х - 1 - 2)(х2 + 2х - 1 + 2) = (х2 + 2х - 3)(х2 + 2х + 1) = (х2 + 2х - 3)(х + 1)2.

1134. а) а4 + 4а2 - 5 = а4 + 4а2 + 4 - 9 = (а2 + 2)2 - 32 = (а2 + 2 - 3)(а2 + 2 + 3) = (а2 + 5)(а2 - 1);

б) а4 + а2 + 1 = а4 + 2а2 + 1 - а2 = (а2 + 1)2 - а2 = (а2 + 1 - а)(а2 + 1 + а).

1135. а2 + b2 + с2 + 2ab + 2bс + 2са = а2 + 2аb + b2 + b2 + 2bс + с2 + а2 + 2ас + с2 - а2 - b2 - с2 = (а + b)2 - с2 + (b + с)2 - а2 + (а + с)2 - b2 = (а + b - с)(а + b + с) + (а + с - а)(b + с + а) + (а + с - b)(а + с + b) = (а + b + с)(а + b - с + b + с - а + а + с - b) = (а + b + с)(а + b + с) = (а + b + с)2.

1136. 256 - 221 = (252)3 - (27)3 = (252 - 27)(254 + 252 • 27 + 214) = (615 - 128)(254 + 252 • 27 + 214) = 497 • (254 + 252 • 27 + 214). Значення цього виразу ділиться на 497.

1137. Нехай а і b — цілі числа. Тоді а = 5n + 1; b = 5k + 2.

а4 - b4 = (5а + 1)4 - (5k + 2)4 = ((5n + 1)2 - (5k + 2)2)((5n + 1)2 + (5k + 2)2) = (25n2 + 10n + 1 - 25k2 - 20k - 4)(25n2 + 10n + 1 + 25k2 + 20k + 4) = (25n2 + 10n + 1 - 25k2 - 20k + 4)(25n2 + 25k2 + 10n + 20k + 5) = 5(25n2 + 10n - 25k2 - 20k - 3)(5n2 + 5k2 + 2n + 4k + 1) — кратно 5, т. к. множник 5 кратний 5.

1138. m2 - n2 = (m - n)(m + n) — це число може бути простим, коли один з множників дорівнюватиме 1. Так як m - n < m + n, то m - n = 1. Звідси m = n + 1.

1139. а) (m + n)2 - n2 = 3; m2 + 2mn + n2 - n2 = 3; m2 + 2mn = 3; m(m + 2n) = 3;

m = 1, тоді m + 2n = 3; 2n = 2; n = 1;

m = 3, тоді m + 2n = 1; не має змісту.

Відповідь: m = 1; n = 1.

б) m2 - (m - n)2 = 0; m2 - m2 + 2mn - n2 = 9; 2mn - n2 = 9; n(2m - n) = 0;

n = 1; 2m - n = 0; 2n = 10; n = 5;

n = 3; 2m - n = 3; 2m = 6; m = 3;

n = 9; 2m - n = 1; 2m = 10; m = 5.

Відповідь: n = 1, m = 5; n = 3, m = 3; n = 9, m = 5.

1140. (n + 2m)2 - (n + m)2 = 5;(n + 2m - n - m)(n + 2m + n + m) = 5; m(2n + 3m) = 5;

1) m = 1, тоді 2n + 3m = 5; 2n = 2; n = 1;

2) m = 5, тоді 2n + 3m = 1; 2n = -14; n = -7;

3) m = -1, тоді 2n + 3m = -5; 2n = -2; n = -1;

4) m = -5, тоді 2n + 3m = -1; 2n = 14; n = 7.