ГДЗ до підручника «Алгебра» В.Р. Кравчука. 7 клас

До § 4. Формули скороченого множення

1131. (a - (-b)ⁿ)² + (a + (-b)ⁿ)² = a² - 2a(-b)ⁿ + b²ⁿ + а² + 2а(-b)ⁿ + b²ⁿ = 2а² + 2b²ⁿ.

1132. а) (|х| - х)(|х| + х) = 1 - |х|; |х|² - х² = 1 - |х|; х² - х² = 1 - |х|; |х| = 1; х = 1 або х = -1;

б) (2|х| - 1)(2|х| + 1) = (х - 1)(4х - 1); 4х² - 1 = 4х² - 4х - х + 1; 5х = 2; х = 0,4;

в) (1 - |х|)(1 + |х|)(1 + |х|²) + x⁴ = |х|; (1 - |х|²)(1 + |х|²) + x⁴ = |х|; 1 - |х|⁴ + x⁴ = |х|; 1 - х⁴ + х⁴ = |х|; |х| = 1; х = 1 або х = -1.

1133. а) (а² + 1)² + 6(а² + 1) + 5 = (а² + 1)² + 6(а² + 1) + 9 - 4 = (а² + 1 + 3)² - 2² = (а² + 4 - 2)(а² + 4 + 2) = (а² + 2)(а² + 6);

б) (с² - 3с)² - 2(с² - 3с) - 8 = (с² - 3с)² - 2(с² - 3с) + 1 - 9 = (с² - 3с - 1)² - 3² = (с² - 3с - 1 - 3)(с² - 3с - 1 + 3) = (с² - 3с - 4)(с² - 3с + 2);

в) (а² - 4а)² - 2а² + 8а - 15 = (а² - 4а)² - 2(а² - 4а) + 1 - 16 = (а² - 4а - 1)² - 4² = (а² - 4а - 1 - 4)(а² - 4а - 1 + 4) = (а² - 4а - 5)(а² - 4а + 3);

г) (х² + 2х)² - 2(х² + 2х) - 3 = (х² + 2х)² - 2(х² + 2х) + 1 - 4 = (х² + 2х - 1)² - 2² = (х² + 2х - 1 - 2)(х² + 2х - 1 + 2) = (х² + 2х - 3)(х² + 2х + 1) = (х² + 2х - 3)(х + 1)².

1134. а) а⁴ + 4а² - 5 = а⁴ + 4а² + 4 - 9 = (а² + 2)² - 3² = (а² + 2 - 3)(а² + 2 + 3) = (а² + 5)(а² - 1);

б) а⁴ + а² + 1 = а⁴ + 2а² + 1 - а² = (а² + 1)² - а² = (а² + 1 - а)(а² + 1 + а).

1135. а² + b² + с² + 2ab + 2bс + 2са = а² + 2аb + b² + b² + 2bс + с² + а² + 2ас + с² - а² - b² - с² = (а + b)² - с² + (b + с)² - а² + (а + с)² - b² = (а + b - с)(а + b + с) + (а + с - а)(b + с + а) + (а + с - b)(а + с + b) = (а + b + с)(а + b - с + b + с - а + а + с - b) = (а + b + с)(а + b + с) = (а + b + с)².

1136. 25⁶ - 2²¹ = (25²)³ - (2⁷)³ = (25² - 2⁷)(25⁴ + 25² • 2⁷ + 2¹⁴) = (615 - 128)(25⁴ + 25² • 2⁷ + 2¹⁴) = 497 • (25⁴ + 25² • 2⁷ + 2¹⁴). Значення цього виразу ділиться на 497.

1137. Нехай а і b — цілі числа. Тоді а = 5n + 1; b = 5k + 2.

а⁴ - b⁴ = (5а + 1)⁴ - (5k + 2)⁴ = ((5n + 1)² - (5k + 2)²)((5n + 1)² + (5k + 2)²) = (25n² + 10n + 1 - 25k² - 20k - 4)(25n² + 10n + 1 + 25k² + 20k + 4) = (25n² + 10n + 1 - 25k² - 20k + 4)(25n² + 25k² + 10n + 20k + 5) = 5(25n² + 10n - 25k² - 20k - 3)(5n² + 5k² + 2n + 4k + 1) — кратно 5, т. к. множник 5 кратний 5.

1138. m² - n² = (m - n)(m + n) — це число може бути простим, коли один з множників дорівнюватиме 1. Так як m - n < m + n, то m - n = 1. Звідси m = n + 1.

1139. а) (m + n)² - n² = 3; m² + 2mn + n² - n² = 3; m² + 2mn = 3; m(m + 2n) = 3;

m = 1, тоді m + 2n = 3; 2n = 2; n = 1;

m = 3, тоді m + 2n = 1; не має змісту.

Відповідь: m = 1; n = 1.

б) m² - (m - n)² = 0; m² - m² + 2mn - n² = 9; 2mn - n² = 9; n(2m - n) = 0;

n = 1; 2m - n = 0; 2n = 10; n = 5;

n = 3; 2m - n = 3; 2m = 6; m = 3;

n = 9; 2m - n = 1; 2m = 10; m = 5.

Відповідь: n = 1, m = 5; n = 3, m = 3; n = 9, m = 5.

1140. (n + 2m)² - (n + m)² = 5;(n + 2m - n - m)(n + 2m + n + m) = 5; m(2n + 3m) = 5;

1) m = 1, тоді 2n + 3m = 5; 2n = 2; n = 1;

2) m = 5, тоді 2n + 3m = 1; 2n = -14; n = -7;

3) m = -1, тоді 2n + 3m = -5; 2n = -2; n = -1;

4) m = -5, тоді 2n + 3m = -1; 2n = 14; n = 7.