ГДЗ до підручника «Алгебра» В.Р. Кравчука. 7 клас

1121. 2 • n = m²; 2 • n = (2 • 2)(2 • 2) = 4², n = 8; 3 • n = a³; 3 • n = 3 • 1 • 1 • 1 • 3 • 13 = 3³, n = 9. Щоб ці умови виконувалися одночасно, треба знайти НСК(8; 9) = 72.

2 • 72144 = 12²; 3 • 72 = 216 = 6³. Отже, n = 72.

До § 3. Многочлени

1122. a) n = 6a + 3; m = 6b + 4; 3n = 18a + 9; 5m = 30b + 20;

3n + 5m = 18a + 30b + 29 = 6(3a + 5b + 4) + 5.

При діленні числа 3n + 5n на 6 остача 5.

m • n = 36qb + 42b + 18b + 12 = 6(6аb + 4а + 3b + 2).

При діленні числа mn на 6 остача 0.

б) m = 5а + 2; n = 5b + 3; k = 5с + 4.

nk - m(m - 1) = (5b + 3)(5с + 4) - (5a + 2)(5a + 1) = 25bс + 20b + 15с + 12 - 25a² - 5a - 10a - 2 = 25bc + 20b + 15c + 10 - 25a² - 15a - 5(5bc + 4b + 3c + 2 - 5a² - 3a) ділиться на 5.

1123. Нехай число одиниць х, тоді десятків і тисяч a + 1, а сотень a + 2.

Тоді дане число 1000(х + 1)+ 100(х + 2) + 10(х + 1) + х - 1000х + 1000 + 100х + 200 + 10х + 10 + х = 111х + 1210 = 11 • (101х + 110) ділиться на 11.

Число 11(а + b) можна подати у вигляді квадрату натурального числа, коли a + b = 11 (a > b). Тоді шукані двоцифрові числа: 65; 74; 83; 92.

1125. (5|х| - 6)(3|х| + 5) = 5(3х² + 1); 15х² + 25|х| - 18|х| - 30 = 15х² + 5; 7|х| = 35; |х| = 35 : 7; |х| = 5; х = 5 або х = -5.

1126. а) 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹ + 2¹⁰ = (2 - 1)(1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹ + 2¹⁰) = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰ + 2¹¹ - 1 - 2 - 2² - 2³ - 9⁹ - 2¹⁰ = 2¹¹ - 1;

б) 4 • (1 + 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸ + 5⁹) = (5 - 1)(1 + 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸ + 5⁹) = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5⁹ + 5¹⁰ - 1 - 5 - 5² - 5³ - ... - 5⁸ - 5⁹ = 5¹⁰ - 1.

1127. 27⁷ + 9¹¹ - 81⁵ = (3³)⁷ + (3²)¹¹ - (3²)¹¹ - (3⁴)⁵ = 3²¹ + 3²² - 3²⁰ = 3²⁰ • (3 + 3² - 1) = 3²⁰ • 11 — ділиться на 11.

1128. 2ⁿ⁺³ + 5ⁿ⁺³ - 2ⁿ + 5ⁿ = (2ⁿ • 2³ - 2ⁿ) + (5ⁿ • 5³ + 5ⁿ) = 2ⁿ(8 - 1) + 5ⁿ(125 + 1) = 2ⁿ • 7 + 5ⁿ • 126 = 7(2ⁿ + 18 • 5ⁿ) — ділиться на 7.

1129. 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺³ = 3ⁿ(1 + 3 + 9 + 27) = 3ⁿ • 40 = 3^n-1 • 3 • 40 = 3^n-1 • 120 ділиться на 120.

1130. а) 2a - а² - 6b + 9b² = -а² + 2а - 1 + 9b² - 6b + 1 = -(а² - 2а + 1) + (9b² - 6b + 1) = -(а - 1)² + (3b - 1)² = (3b - 1)² - (а - 1)² = (3b - 1 - а + 1)(3b - 1 + а - 1) = (3b - а)(3b + а - 2);

б) 81х² - 49х²у² + 144ху + 64у² = (81х² + 144ху + 64y²) - (7ху)² = (9х + 8у)² - (7xy)² = (9х + 8у - 7ху)(9х + 8у + 7ху);

в) a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + ca² + 3abc = a²b + abc + a²c + ab² + b²c + abc + cab + bc² + ac² = a(ab + bc + ac) + b(ab + bx + ac) + c(ab + bc + ac) = (ab + bc + ac)(a + b + c).