ГДЗ до підручника «Алгебра» В.Р. Кравчука. 7 клас

1113. а) n = 10. Якщо число складається з парної кількості цифр, то останню цифру записує другий учень і він завжди досягне своєї мети. Першу цифру пише перший учень, а другий учень пише цифру, яка в сумі з першою цифрою дає 9. У десятицифровому числі 5 пар цифр.

В останній парі: якщо перший учень напише цифру 9, то другий може дописати теж цифру 9, тобто доповнити її до 18. Сума цифр в кожній парі ділиться на 9, тому і сума цифр всього числа ділиться на 9. Отже, одержане число ділиться на 9.

б) n = 15. Якщо число містить непарну кількість цифри, то останню цифру пише перший учень і йому не складно порахувати суму цифр уже записаних і дописати таку цифру, щоб сума записаних цифр не ділилась на 9. Тому в цьому випадку другий учень не зможе досягти мети, якщо перший йому буде заважати.

До § 2. Одночлени

1114. а) 3⁴ⁿ + 4 = (3⁴)ⁿ + 4 = 81ⁿ + 4 ділиться на 5, бо число 81ⁿ закінчується на 1 при любому значенні n, тоді 81ⁿ + 4 закінчується цифрою 5 при любому n, а тому ділиться на 5.

б) 9²ⁿ - 1 = (9²)ⁿ - 1 - 81ⁿ - 1 ділиться на 10, бо число 81ⁿ закінчується цифрою 1, тоді 81ⁿ - 1 закінчується цифрою 0, тому ділиться на 10.

1115. 4²ⁿ + 4 = (4²)ⁿ + 4 = 16ⁿ + 4 ділиться на 10, бо 16ⁿ закінчується цифрою 6, тоді 16ⁿ + 4 закінчується цифрою 0.

Це число записане цифрами 9, їх (n - 1) шт. і в найнижчому розряді цифра 6. Тому це число ділиться на 3 (і 9, і 6 діляться на 3), але не ділиться на 9, бо 6 не ділиться на 9.

1117. m(n + 1) = 3ⁿ + 2ⁿ. Якщо m — натуральне число, то m і m + 1 — два послідовних числа. Одне з них парне, друге — непарне, тоді m(m + 1) — парне число.

Якщо n — натуральне, то 3ⁿ — непарне число, 2ⁿ — парне. Тоді 3ⁿ + 2ⁿ — число непарне.

Оскільки непарне і парне число не можуть бути рівними, то рівність m(m + 1) = 3ⁿ + 2ⁿ не може виконуватися при любих m і n.

1118. a) 125¹²⁵ > 25¹⁸⁵, бо 125¹²⁵ = (5³)¹²⁵ = 5³⁷⁵; 25¹⁸⁵ = (5²)¹⁸⁵ = 5³⁷⁰; 5³⁷⁵ > 5³⁷⁰;

б) 250⁸ > 375⁷, бо 250⁸ = (2 • 125)⁸ = 2⁸ • 125⁸ = 2⁸ • 5²⁴ = 2⁸ • 5³ • 5²¹ = 10³ • 2⁵ • 5²¹; 375⁷ = (3 • 125)⁷ = 3⁷ • 125⁷ = 3⁷ • 5²¹; 5²¹ • 10³ • 2⁵ - 3⁷ • 5²¹ = 5²¹ • (2⁵ • 10³ - 3⁷) > 0.

1119. Квадрат цілого числа може закінчуватися цифрами 0; 1; 4; 9; 6.

Четверта степінь цілого числа — це квадрат квадрату числа а⁴ = (а²)² і може закінчуватися цифрами 0; 1; 6.

Восьма степінь цілого числа — це квадрат четвертої степені числа а⁸ = (а⁴)² і може закінчуватися цифрами 0; 1; 6.

б) Чисел m i n, для яких рівність m⁴ = 10ⁿ + 4 — правильна, не існує, бо m⁴ може закінчуватися цифрою 0; 1; 6, а 10ⁿ + 4 при любому n закінчується цифрою 4.

в) Чисел m i n, для яких рівність m⁸ = 10ⁿ + 2 — правильна, не існує, бо m⁸ може закінчуватися цифрою 0; 1; 6, а 10ⁿ + 2 закінчується цифрою 2.