ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 7 клас

541. (n + 7)² - n² = (n + 7 - n)(n + 7 + n) = 7 • (2n + 7) ділиться на 7.

542. 1) а⁶ - (b - 5а³)² = (а³ - (b - 5а³))(а³ + (b - 5а³)) = (а³ - b + 5а³)(а² + b - 5а³) = (6а³ - b)(b - 4а³);

2) (-3m² + 4р)² - 9m⁴ = (-3m² + 4р - 3m²) • (-3m² + 4р + 3m²) = (-6m² + 4р) • 4р;

3) (7х + 2у)² - (2х - 7у)² = (7х + 2у - 2х + 7у)(7х + 2у + 2х - 7у) - (5х + 9y)(9х - 5у);

4) (а + b + с)² - (а + b - с)² = (а + b + с + а + b - с)(а + b + с - a - b + с) = (2а + 2b) • 2с;

5) а²(а + 1)² - с⁸ = (а(а + 1) - с⁴)(а(а + 1) + с⁴) = (а² + а - с⁴)(а² + а + с⁴);

6) (5а - b - 1)² - (5а + b - 1)² = (5а - b - 1 - 5а - b + 1)(5а - b - 1 + 5а + b - 1) = -2b(10а - 2).

543. 1) (5а² - 3b)² - 16а⁴ = (5а² - 3b - 4а²) • (5а² - 3b + 4а²) = (а² - 3b)(9а² - 3b);

2) m⁸ - (3с - 2m⁴)² = (m⁴ - 3с + 2m⁴) • (m⁴ + 3с - 2m⁴) = (m⁴ - 3с)(3с - m⁴);

3) (2а + 3b)² - (4а - 5b)² = ((2а + 3b) - (4а - 5b))((2а + 3b) + (4а - 5b)) = (2а + 3b - 4а + 5b)(2а + 3b + 4а - 5b) = (8b - 2а)(6а - 2b);

4) (х - у + t)² - (х - у - t)² = ((х - у + t) - (х - y - t))((x - y + t) + (x - y - t)) = (x - y + t - x + у + t)(х - у + t + х - у - t) = 2t(2х - 2у).

545. n, n + 1 — два послідовні числа;

(n + 1)² - n² — різниця квадратів двох послідовних чисел;

n + (n + 1) — сума цих чисел.

(n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1;

n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

547. 1) (100 - 1)³ = 100 000 - 3 • 10 000 +

3 • 100 - 1 = 970 299;

2) 41³ = (40 + 1)³ = 40³ + 3 • 40² • 1 + 3 • 40 • 1 + 1³ = 68 921;

3) 29³ = (30 - 1)³ = 30³ - 3 • 30² • 1 - 3 • 30 • 1 - 1³ = 24 389;

4) 0,99³ = (1 - 0,1)³ = 1 - 3 • 1 • 0,1 + 3 • 1 • 0,1² - 0,01 = 0,970299.

548. Використаємо зважену крупу як гирьку.