ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 7 клас

541. (n + 7)2 - n2 = (n + 7 - n)(n + 7 + n) = 7 • (2n + 7) ділиться на 7.

542. 1) а6 - (b - 5а3)2 = (а3 - (b - 5а3))(а3 + (b - 5а3)) = (а3 - b + 5а3)(а2 + b - 5а3) = (6а3 - b)(b - 4а3);

2) (-3m2 + 4р)2 - 9m4 = (-3m2 + 4р - 3m2) • (-3m2 + 4р + 3m2) = (-6m2 + 4р) • 4р;

3) (7х + 2у)2 - (2х - 7у)2 = (7х + 2у - 2х + 7у)(7х + 2у + 2х - 7у) - (5х + 9y)(9х - 5у);

4) (а + b + с)2 - (а + b - с)2 = (а + b + с + а + b - с)(а + b + с - a - b + с) = (2а + 2b) • 2с;

5) а2(а + 1)2 - с8 = (а(а + 1) - с4)(а(а + 1) + с4) = (а2 + а - с4)(а2 + а + с4);

6) (5а - b - 1)2 - (5а + b - 1)2 = (5а - b - 1 - 5а - b + 1)(5а - b - 1 + 5а + b - 1) = -2b(10а - 2).

543. 1) (5а2 - 3b)2 - 16а4 = (5а2 - 3b - 4а2) • (5а2 - 3b + 4а2) = (а2 - 3b)(9а2 - 3b);

2) m8 - (3с - 2m4)2 = (m4 - 3с + 2m4) • (m4 + 3с - 2m4) = (m4 - 3с)(3с - m4);

3) (2а + 3b)2 - (4а - 5b)2 = ((2а + 3b) - (4а - 5b))((2а + 3b) + (4а - 5b)) = (2а + 3b - 4а + 5b)(2а + 3b + 4а - 5b) = (8b - 2а)(6а - 2b);

4) (х - у + t)2 - (х - у - t)2 = ((х - у + t) - (х - y - t))((x - y + t) + (x - y - t)) = (x - y + t - x + у + t)(х - у + t + х - у - t) = 2t(2х - 2у).

545. n, n + 1 — два послідовні числа;

(n + 1)2 - n2 — різниця квадратів двох послідовних чисел;

n + (n + 1) — сума цих чисел.

(n + 1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1;

n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

547. 1) (100 - 1)3 = 100 000 - 3 • 10 000 +

3 • 100 - 1 = 970 299;

2) 413 = (40 + 1)3 = 403 + 3 • 402 • 1 + 3 • 40 • 1 + 13 = 68 921;

3) 293 = (30 - 1)3 = 303 - 3 • 302 • 1 - 3 • 30 • 1 - 13 = 24 389;

4) 0,993 = (1 - 0,1)3 = 1 - 3 • 1 • 0,1 + 3 • 1 • 0,12 - 0,01 = 0,970299.

548. Використаємо зважену крупу як гирьку.