ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 7 клас

1191. Доведемо, що 555777 + 777555 кратне числу 37.

(111 • 5)777 + (111 • 7)555 — кратне 111, а 111 кратне 37, 111 = 37 • 3.

1192. Число 729 є і квадратом двоцифрового числа, і кубом одноцифрового числа 9.

93 = 9 • 9 • 9 = 729; 272 = 27 • 27 = 729.

1193. Доведемо, що 1916 + 7346 - 5933 ділиться па 10.

1916 — перший доданок, остання цифра 1; 7346 — другий доданок, остання цифра 6; 5933 — остання цифра 7.

1 + 6 - 7 = 0. Остання цифра виразу 1916 + 7346 - 5933 дорівнює 0, отже, ділиться на 10.

1194. 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = (3n+2 + 3n) - (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) - 2n(22 + 1) = 3n • 10 - 2n • 5 = 3n • 10 - 2n-1 • 2 • 5 = 3n • 10 - 2n-1 • 10 = 10(3n - 22-1);

10 • (3n — 2n-1) — вираз кратний 10.

1196. 1) (х - 2)(х - 1)х(х + 1) + 1 = (х2 - х - 1)2;

(х - 2)(х - 1) • х(х + 1) + 1 = (х2 - 3х + 2) • (х2 + х) + 1 = х4 + х3 - 3х3 - 3х2 + 2х2 + 2х + 1 = х4 - 2х3 - х2 + 2х + 1.

2 - х - 1)2 за формулою:

(a + b + с)2 = а2 + b2 + с2 + 2ab + 2ас + 2bс;

2 - х - 1)2 = х4 + х2 + 1 - 2х3 - 2х2 + 2х = х4 - 2х3 - х2 + 2х + 1.

Тотожність доведено.

2) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) + 1 = (х2 + 3х + 1)2;

2 + х)(х2 + 2х + 3х + 6) + 1 = (х2 + х) • (х2 + 5х + 6) + 1 = х4 + 5х3 + 6х2 + х3 + 5х2 + 6х + 1 = x4 + 6х3 + 11х2 + 6х + 1;

2 + 3х + 1)2 = х4 + 9х2 + 1 + 6х3 + 2х2 + 6х = х4 + 6х3 + 11х2 + 6х + 1.

Тотожність доведено.

1198. 2n, 2n + 2 — послідовні натуральні парні числа;

(2n + 2)3 - (2n)3 = 8n3 + 3 • 4n2 • 2 + 3 • 2n • 4 + 8 - 8n3 = 24n2 + 24n + 8 = 24n(n + 1) + 8.

Різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 48 дає в остачі 8.

1199. 1) у5 + у + 1 = у5 - у2 + у2 + у + 1 = у23 - 1) + (у2 + у + 1) = у2(у - 1)(у2 + у + 1) + (у2 + у + 1) = (у2 + у + 1)(у3 - у2 + 1);

2) m4 + m2 + 1 = m4 - m + m + m2 + 1 = m(m3 - 1) + (m2 + m + 1) = m(m - 1) • (m2 + m + 1) + (m2 + m + 1) = (m2 + m + 1)(m2 - m + 1);

3) x4 + 5x2 + 9 = (x4 + 6x2 + 9) - x2 = (x2 + 3)2 - x2 = (x2 + 3 - x)(x2 + 3 + x);

4) n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) - 4n2 = (n2 + 2) - 4n2 = (n2 + 2 - 2n)(n2 + 2 + 2n);

5) x4 + 2a2x2 - 4a2b2 - 4b4 = (x4 - 4b4) + 2a2(x2 - 2b2) = (x2 - 2b2)(x2 + 2b2) + + 2a2(x2 - 2b2) = (x2 - 2b2)(x2 + 2b2 + 2a2);

6) m3 - 2m - 1 = (m3 + m2) - (m2 + 2m + 1) = m2(m + 1) - (m + 1)2 = (m + 1) • (m2 - m - 1);

7) m3 - 5m - 2 = (m3 + 8) - (5m + 10) = (m + 2)(m2 - m + 4) - 5(m + 2) = (m + 2)(m2 - m + 4 - 5) = (m + 2)(m2 - m - 1);

8) x4 - 2x3y - 6x2y2 - 4xy3 - y4 = (x4 - y4) - (2x3y + 2x2y2) = (4x2y2 + 4xy3) = (x2 - y2)(x2 + y2) - 2x2y(x + y) - 4xy2(x + y) = (x + y)(x - y)(x2 + y2) - 2x2y - 4xy2) = (x + y) • (x3 + xy2 - yx2 - y3 - 2x2y - 4xy2) = (x + y)(x3 - 3xy2 - 3x2y - y3).

1200. 515 < 323; 515 = 5 • (52)7;

323 = 9 • (32)7.