ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 7 клас

1191. Доведемо, що 555⁷⁷⁷ + 777⁵⁵⁵ кратне числу 37.

(111 • 5)⁷⁷⁷ + (111 • 7)⁵⁵⁵ — кратне 111, а 111 кратне 37, 111 = 37 • 3.

1192. Число 729 є і квадратом двоцифрового числа, і кубом одноцифрового числа 9.

9³ = 9 • 9 • 9 = 729; 27² = 27 • 27 = 729.

1193. Доведемо, що 191⁶ + 734⁶ - 593³ ділиться па 10.

191⁶ — перший доданок, остання цифра 1; 734⁶ — другий доданок, остання цифра 6; 593³ — остання цифра 7.

1 + 6 - 7 = 0. Остання цифра виразу 191⁶ + 734⁶ - 593³ дорівнює 0, отже, ділиться на 10.

1194. 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ = (3ⁿ⁺² + 3ⁿ) - (2ⁿ⁺² + 2ⁿ) = 3ⁿ(3² + 1) - 2ⁿ(2² + 1) = 3ⁿ • 10 - 2ⁿ • 5 = 3ⁿ • 10 - 2^n-1 • 2 • 5 = 3ⁿ • 10 - 2^n-1 • 10 = 10(3ⁿ - 2^2-1);

10 • (3ⁿ — 2^n-1) — вираз кратний 10.

1196. 1) (х - 2)(х - 1)х(х + 1) + 1 = (х² - х - 1)²;

(х - 2)(х - 1) • х(х + 1) + 1 = (х² - 3х + 2) • (х² + х) + 1 = х⁴ + х³ - 3х³ - 3х² + 2х² + 2х + 1 = х⁴ - 2х³ - х² + 2х + 1.

(х² - х - 1)² за формулою:

(a + b + с)² = а² + b² + с² + 2ab + 2ас + 2bс;

(х² - х - 1)² = х⁴ + х² + 1 - 2х³ - 2х² + 2х = х⁴ - 2х³ - х² + 2х + 1.

Тотожність доведено.

2) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) + 1 = (х² + 3х + 1)²;

(х² + х)(х² + 2х + 3х + 6) + 1 = (х² + х) • (х² + 5х + 6) + 1 = х⁴ + 5х³ + 6х² + х³ + 5х² + 6х + 1 = x⁴ + 6х³ + 11х² + 6х + 1;

(х² + 3х + 1)² = х⁴ + 9х² + 1 + 6х³ + 2х² + 6х = х⁴ + 6х³ + 11х² + 6х + 1.

Тотожність доведено.

1198. 2n, 2n + 2 — послідовні натуральні парні числа;

(2n + 2)³ - (2n)³ = 8n³ + 3 • 4n² • 2 + 3 • 2n • 4 + 8 - 8n³ = 24n² + 24n + 8 = 24n(n + 1) + 8.

Різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 48 дає в остачі 8.

1199. 1) у⁵ + у + 1 = у⁵ - у² + у² + у + 1 = у²(у³ - 1) + (у² + у + 1) = у²(у - 1)(у² + у + 1) + (у² + у + 1) = (у² + у + 1)(у³ - у² + 1);

2) m⁴ + m² + 1 = m⁴ - m + m + m² + 1 = m(m³ - 1) + (m² + m + 1) = m(m - 1) • (m² + m + 1) + (m² + m + 1) = (m² + m + 1)(m² - m + 1);

3) x⁴ + 5x² + 9 = (x⁴ + 6x² + 9) - x² = (x² + 3)² - x² = (x² + 3 - x)(x² + 3 + x);

4) n⁴ + 4 = (n⁴ + 4n² + 4) - 4n² = (n² + 2) - 4n² = (n² + 2 - 2n)(n² + 2 + 2n);

5) x⁴ + 2a²x² - 4a²b² - 4b⁴ = (x⁴ - 4b⁴) + 2a²(x² - 2b²) = (x² - 2b²)(x² + 2b²) + + 2a²(x² - 2b²) = (x² - 2b²)(x² + 2b² + 2a²);

6) m³ - 2m - 1 = (m³ + m²) - (m² + 2m + 1) = m²(m + 1) - (m + 1)² = (m + 1) • (m² - m - 1);

7) m³ - 5m - 2 = (m³ + 8) - (5m + 10) = (m + 2)(m² - m + 4) - 5(m + 2) = (m + 2)(m² - m + 4 - 5) = (m + 2)(m² - m - 1);

8) x⁴ - 2x³y - 6x²y² - 4xy³ - y⁴ = (x⁴ - y⁴) - (2x³y + 2x²y²) = (4x²y² + 4xy³) = (x² - y²)(x² + y²) - 2x²y(x + y) - 4xy²(x + y) = (x + y)(x - y)(x² + y²) - 2x²y - 4xy²) = (x + y) • (x³ + xy² - yx² - y³ - 2x²y - 4xy²) = (x + y)(x³ - 3xy² - 3x²y - y³).

1200. 5¹⁵ < 3²³; 5¹⁵ = 5 • (5²)⁷;

3²³ = 9 • (3²)⁷.